¿Es este conjunto contablemente infinito? Si es así, ¿cómo exhibo una correspondencia uno a uno entre estos dos conjuntos?

La biyección es bastante obvia. Por ejemplo, para cada número entero positivo$n$puedes definir:

$F(2k-1) = (2, k)$cuando$n = 2k-1$(n es impar)

$F(2k) = (3, k)$cuando$n = 2k$(n es par)

solo prueba eso$F$es una biyección (que es bastante fácil).

Esta biyección es básicamente una escritura formal de esta tabla:

$1 \to (2,1)$
$2 \to (3,1)$
$3 \to (2,2)$
$4 \to (3,2)$
$5 \to (2,3)$
$6 \to (3,3)$
$\dots$

"Me parece que hay el doble de elementos en el conjunto$A\times Z^{+}$que el conjunto de enteros positivos ya que su cardinalidad es el doble debido al producto cartesiano"

Bueno, probablemente exista la misma intuición para los conjuntos de enteros positivos e incluso para los enteros positivos . Pero hay una biyección entre los dos conjuntos, por lo que sus cardinalidades son iguales (una cardinalidad no es "el doble" de la otra cardinalidad).

Así que siempre que tu intuición diga que el número de elementos de un conjunto$C$es 2 o 3 o 10 o$m$veces el número de elementos de otro conjunto$B$, debes saber que los dos conjuntos$B$y$C$son de hecho de la misma cardinalidad. Es algo contradictorio a primera vista, pero es así.