Incontablemente Muchas Clases de Equivalencia

Escribí esto en mis notas: ¿Podemos tener m : PAG ( R ) → [ 0 , ∞ ] tal que:

  1. Si mi 1 . . . es una secuencia finita o infinita de conjuntos disjuntos entonces m ( mi 1 ∪ ∪ mi 2 . . . ) = m ( mi 1 ) + m ( mi 2 ) + . . .
  2. Si mi es congruente con F , entonces m ( mi ) = m ( F ) .
  3. m ( q ) = 1 .

Lema: existe un conjunto norte ⊂ [ 0 , 1 ) tal que m ( norte ) está mal definido.

Prueba: Considere la siguiente relación de equivalencia en R : X ∼ y ↔ X − y ∈ q Entonces R se descompone en innumerables clases de equivalencia.

Esta es la parte que realmente no entiendo. Cómo R descompone en un número incontable de clases de equivalencia? ¿Cómo se ve cada clase de equivalencia? ¿No estarían todos los números enteros y racionales en la misma clase de equivalencia: { 0 , 1 , 2 , 3 , 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , − 1 , 1 / 5 , 1 / 6 , … } . Pero, ¿qué pasa con los números irracionales? ¿Cada uno de ellos forma su propia clase de equivalencia y dado que hay incontables muchos de ellos, hay un número incontable de clases de equivalencia? Además, ¿puede un solo número estar en dos clases de equivalencia diferentes? Gracias por la ayuda.

Respuestas (1)

No es exactamente que cada irracional forme su propia clase de equivalencia, pero eso es casi correcto, salvo la adición de un racional.

Todo racional pertenece trivialmente a la clase de 0 . La diferencia de un irracional X y otro numero real y es irracional a menos que y es de la forma X + r , con r racional. Por lo tanto, las clases son de la forma [ X ] = { X + r ∣ r ∈ q } para cada X ∈ R ∖ q y la clase [ 0 ] para los racionales.

Estas son muchas clases incontables, ya que cada clase de equivalencia tiene solo muchos elementos contables, pero cubren la totalidad R .

Ningún número puede estar en dos clases de equivalencia diferentes, y esta es una propiedad general de las relaciones de equivalencia. Si X ∼ y y X ∼ z , entonces y ∼ z (utilizando propiedades simétricas y transitivas).

En realidad, cada clase es de la primera forma, pero quería dejar aparte los racionales ya que la discusión se centró en los irracionales.
hola gracias por la respuesta Entonces, ¿por ejemplo, sqrt (2) + 1/2 y sqrt (2) + 1/3 estarían en la misma clase de equivalencia, por ejemplo?
Sí, porque su diferencia es lo racional. 1 2 − 1 3 = 1 6 .
Pero 2 y 3 no están en la misma clase de equivalencia. Por diversión, podría reemplazar los números racionales con los números algebraicos, entonces todos estos ejemplos estarán en la misma clase, la de 0 . Clases "más grandes" pero todavía incontables muchas de ellas.
Exactamente, su diferencia es irracional. Así es, el mismo razonamiento funcionaría reemplazando la palabra "racional" por "algebraica".
Por cierto, ¿te importaría aceptar mi respuesta? Thak verifique debajo del voto negativo :)
@Javi lo acepto, gracias por la ayuda
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