¿Por qué elegir conjuntos para ser los objetos primitivos en matemáticas en lugar de, digamos, tuplas?

Los conjuntos se definen de tal manera que { a , a } es lo mismo que { a } , y { a , b } es lo mismo que { b , a } . Por el contrario, el par ordenado ( a , a ) es distinto de ( a ) , y ( a , b ) es distinto de ( b , a ) .

Intuitivamente, parecería útil establecer una distinción entre dos colecciones si están ordenadas de manera diferente, o si una colección tiene un número diferente de copias de un elemento que la otra. Por ejemplo, esto significaría que la colección de factores primos de 6 sería diferente a la de 12 . Sin embargo, es el conjunto, en lugar de la tupla, el que se elige como objeto primitivo. ¿Por qué es útil para los fundamentos de las matemáticas que los conjuntos tengan muy poca "estructura", y habría alguna dificultad para elegir tuplas como objeto primitivo en su lugar?

Tal vez una idea es que puedes usar conjuntos para construir tuplas, es decir ( a , b ) se puede realizar como { a , { a , b } } o algo así. Así que elegimos el objeto más general, es decir, conjuntos.
Para sus factores primos de 12 ser 2 dos veces y 3 , es posible que desee utilizar conjuntos múltiples en lugar de tuplas , ya que ( 2 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 2 ) y ( 3 , 2 , 2 ) son tuplas diferentes. Los conjuntos múltiples son más difíciles de manejar que los conjuntos, ya que es más difícil comprobar que dos conjuntos múltiples son iguales.
¿Cómo se define una tupla infinita?
Los conjuntos son buenos para la lógica de primer orden porque cada declaración sobre conjuntos se codifica usando una sola relación binaria ∈ . ¿Cuál es la analogía para las tuplas? ¿"Sub-tuple inicial" tal vez? "la cabeza de la cola"?
@NateEldredge: esta es una pregunta bastante ingenua, por lo que no tengo idea de cómo se definiría una tupla infinita. (¡Tampoco sé cómo se definen los conjuntos infinitos, para el caso!) Pero aprecio tu punto sobre ∈ . Supongo que esto nos permite definir subconjuntos y otros objetos más complicados, con bastante facilidad y "minimalismo". Así que gracias por tu comentario.
@Joe: Parte del punto es que no necesitas hacer nada especial para tener conjuntos infinitos; simplemente no hay límite en cuantos a puede haber tal que a ∈ b . Pero no está nada claro cómo definir una teoría que permita infinitas tuplas. ¿Deberían estar, en efecto, indexados por ordinales, o por conjuntos ordenados, o qué? ¿Y cómo define que tales cosas tienen solo tuplas para trabajar en primer lugar?

Respuestas (3)

Cuanto más simple es un tipo de objeto, más impresionante se vuelve su poder expresivo. Los conjuntos son más convincentes que las tuplas como respuesta a la pregunta: "¿Cuán estructuralmente simples podemos hacer los fundamentos de las matemáticas?" Ahora, esa puede no ser una pregunta que le interese a uno, en particular, la simplicidad estructural a menudo está en desacuerdo con la usabilidad real y, además, uno podría rechazar razonablemente la simplicidad como una virtud inherente en este contexto, pero es una pregunta significativa. Y la historia temprana de la lógica moderna (especialmente en torno al logicismo ) destaca esta pregunta.

Entonces, ¿hay algún problema con tomar tuplas, o incluso objetos más complicados, como nuestros "objetos básicos" para fundar las matemáticas? Bueno, depende exactamente de cuáles sean nuestros desiderata de ese proyecto fundacional. Ciertamente, no hay ningún obstáculo fatal , en el sentido de que, desde una perspectiva técnica, un enfoque basado en tuplas será tan seguro y expresivo como un enfoque basado en conjuntos, pero aún podríamos tener razones adicionales para preferir el enfoque basado en conjuntos.

Por lo que vale, creo que la simplicidad de los objetos base como criterio fundamental ha perdido mucho impulso en las últimas décadas, especialmente fuera de la comunidad de lógica matemática: la noción de fundamentos estructurales de las matemáticas ha ganado popularidad . .

Gracias por esta respuesta, Noé. Con respecto a su último punto, ¿tiene algún ejemplo de sistemas fundacionales estructurales bien conocidos? ¿Tienen alguna ventaja/desventaja sobre Z F C ?
@Joe: Una dirección son las "teorías de tipos": prácticamente todos los sistemas de prueba verificados por computadora se basan en uno y, en muchos casos, existe una estrecha interacción entre el diseño del sistema de prueba y el software que lo implementa. Su gran ventaja es que ofrecen una alineación mucho mejor entre cómo se escriben realmente las matemáticas para los lectores humanos y cómo se ven cuando se traducen a la teoría de tipos, de lo que sería una representación en pruebas ZFC. (Lo que no quiere decir que correspondan directamente a las pruebas convencionales en prosa; la mejor manera de construir tales sistemas es un área activa de investigación).
Una dirección diferente pero relacionada es la teoría de categorías , que ofrece algunas herramientas interesantes para estructurar y generalizar el espacio de diseño de las teorías de tipos. Tiene el costo de una mayor abstracción, y el jurado aún está deliberando sobre si esa abstracción es demasiado para ser práctica o no. (Decir cosas en la teoría de conjuntos puede tender a enterrarlo en detalles, por lo que no puede ver el bosque en busca de ramitas y hojas individuales, mientras que ir a la teoría de categorías puede parecer que todavía no puede hablar sobre el bosque que le interesa , pero tienen que trabajar con propiedades generales de tipos de paisajes clasificados por vegetación).
Creo que debería aclarar lo que quiere decir con "tupla", porque la mayoría de los matemáticos que conozco (y yo mismo) consideran que las tuplas tienen una cantidad finita de elementos cada una, por lo que no veo cómo puede codificar un conjunto infinito como cualquier tipo de tupla.
Pero, ¿por qué los conjuntos serían inherentemente "más simples" que las tuplas?
Gracias Noah por el último párrafo, ¡valió mucho la pena para mí! Recién encontramos el Estructuralismo en la Filosofía de las Matemáticas . FYI: el último párrafo menciona a Jean Piaget, un nombre con el que apenas estaba familiarizado hasta hace poco. Ahora mismo leyendo La importancia de la asimilación en la adaptación y preguntándome cuántos siglos las matemáticas usarán ZF como base en el modo de asimilación. (+1)
Te agradecería mucho si pudieras abordar algunos de los comentarios aquí, Noah. ¡Pero por supuesto que no estás obligado a hacerlo!

Los conjuntos pueden ser infinitos, y existen diferentes cardinalidades de conjuntos infinitos; sabemos por el argumento diagonal de Cantor que hay "más" números reales que números naturales, por lo que no todos los conjuntos pueden ser indexados por los números naturales. Por lo tanto, muchos conjuntos, incluido el conjunto de números reales, simplemente no se pueden representar como una tupla infinitamente larga.

Se habla un poco en los comentarios sobre cómo se pueden definir las tuplas para que sean indexadas por ordinales arbitrarios, pero en ese caso me parece que las tuplas infinitas no serían objetos primitivos en absoluto; se definirían en términos de otras cosas (ordinales y funciones).

Si uno intentara basar todas las matemáticas en tuplas, tendría que escribir una teoría axiomática de las tuplas. Me imagino que estos incluyen declaraciones que pueden interpretarse en la línea de "para cualquier tupla existe una tupla de todas sus subtuplas" y "existe una tupla infinita". Me imagino que, si tal teoría se estableciera correctamente, existiría un resultado análogo al de Cantor, pero expresado puramente en términos de tuplas en lugar de conjuntos.
@Nathaniel La principal distinción entre un conjunto y una tupla es que los elementos de una tupla tienen índices. Los elementos del conjunto de los números reales no pueden ser indexados por los números naturales. Ese es el problema. En cuanto a su axioma, no puede definir correctamente "una tupla de todas sus subtuplas" sin decir qué subtuplas ocurren en qué índices. Si es posible un análogo del argumento diagonal de Cantor en su teoría basada en tuplas, entonces su teoría es inconsistente; una tupla infinita debe permitir una sobreyección de los números naturales a sus componentes, a saber, el que mapea i a X i .
Claramente, si define una tupla en términos de un conjunto de índices, primero debe definir los conjuntos. Si intentara basar todas las matemáticas en tuplas en lugar de conjuntos, eso no tendría sentido, entonces está bastante claro que tendría que definir las tuplas de una manera diferente. Personalmente, creo que sería posible hacer eso y aún tener la definición correspondiente intuitivamente a lo que pienso de la palabra "tupla" como significado, o más bien a una generalización de la misma que no se limita a un número finito (o contable) de artículos YMMV, pero siempre puedes usar otra palabra si te molesta "tupla".
@Nathaniel Si está dispuesto a renunciar al orden/indexabilidad de la tupla para permitir incontables tuplas infinitas, entonces la otra palabra que debe usar para ellas parece ser "conjuntos".
No veo por qué renunciar a la contabilidad debería implicar renunciar a ordenar.
No es así, pero solo si permite que el orden sea un ordinal arbitrario. En ese punto, su teoría debe ser lo suficientemente poderosa como para definir ordinales antes de poder describir infinitas tuplas.
No veo por qué eso debería ser cierto. La teoría de conjuntos no tiene que definir ordinales antes de poder definir conjuntos infinitos, entonces, ¿por qué la teoría de tuplas tiene que definir ordinales antes de poder definir tuplas infinitas?
La teoría de conjuntos no tiene que definir ordinales antes de poder definir conjuntos infinitos, porque los conjuntos no tienen que estar ordenados .
Quizás una mejor analogía sería que la teoría de conjuntos no tiene que definir cardinales infinitos antes de poder definir conjuntos infinitos. Simplemente das la definición de un conjunto y luego los cardinales (y ordinales) ya están ahí. Actualmente no veo por qué uno no podría escribir una teoría de tuplas de primer orden tal que suceda el mismo tipo de cosas. La teoría sería lo suficientemente poderosa como para definir ordinales dentro de ella (tal como lo es la teoría de conjuntos), pero eso sería una consecuencia de la definición de una tupla y no un requisito previo.
Los cardinales y ordinales no están "simplemente ahí" en la teoría de conjuntos, están definidos para estar ahí, y las definiciones son en términos de conjuntos. Entonces, de manera análoga, necesitaría definir ordinales en términos de tuplas antes de poder usarlos para indexar tuplas infinitas. No digo que no pueda hacer eso, lo que digo es que no podrá definir las tuplas como indexables hasta que haya definido cuáles son los índices (es decir, ordinales arbitrarios). La indexabilidad es una característica fundamental de las tuplas, por lo que si depende de maquinaria pesada, las tuplas realmente no pueden llamarse primitivas.
Eso en su mayoría tiene sentido. Solo digo que en una teoría de tuplas de primer orden las cosas funcionarían de la misma manera que funcionan en la teoría de conjuntos. Primero definiría las tuplas, luego definiría los conjuntos como una noción derivada (al igual que las tuplas son una noción derivada en la teoría de conjuntos), luego definiría los ordinales en términos de conjuntos, luego podría definir la indexación. Pero no necesitarías hacer nada de eso para escribir los axiomas de la teoría de tuplas de primer orden, al igual que no necesitas hacerlo para escribir los axiomas ZF. Por supuesto, esto es una charla ociosa hasta que alguien realmente intenta hacerlo.

La razón principal por la que la teoría de conjuntos eligió conjuntos y no objetos matemáticos naturales (como pares ordenados, relaciones, funciones, números, etc.) como base es: casi todos los objetos matemáticos en las matemáticas modernas pueden reducirse a conjuntos, o la existencia de casi todos los objetos matemáticos pueden apelar a los axiomas de la teoría de conjuntos para los cuales Z F C se suele considerar. Y la razón por la que perseguimos un objetivo tan general es por la tercera crisis matemática que está liderada por la paradoja de Russell.

De hecho, antes de la tercera crisis matemática, la teoría de conjuntos se desarrolla como teoría de conjuntos ingenua y después de eso en teoría de conjuntos axiomática . La teoría de conjuntos ingenua trata muchos objetos matemáticos naturales como base, mientras que la teoría de conjuntos axiomática elige conjuntos.

Casi todos los matemáticos solo quieren obtener una base sólida para elegir conjuntos como base en su pensamiento, lo que no aporta casi nada a su práctica matemática porque los conjuntos como base son demasiado generales, por lo que todavía hacen lo que hacen como de costumbre en su práctica matemática.

'casi todos los objetos matemáticos en las matemáticas modernas se pueden reducir a conjuntos': esto es circular, de hecho dice 'los conjuntos se toman como objetos primitivos porque todo lo demás se puede representar como conjuntos, que son objetos primitivos'. Lo que se pregunta es por qué no se podría hacer lo mismo con tuplas en lugar de conjuntos.
@user3840170: Y lo que Nate respondió es "¿ Cómo se define una tupla infinita? ".
@ user3840170 De hecho, las tuplas son finitas, y "llamamos" tuplas infinitas como secuencias infinitas; de lo contrario, los conceptos de tuplas y secuencias son los mismos. Y normalmente definimos secuencias infinitas para que sean algún tipo de funciones, por ejemplo, definimos ⟨ S i ∣ i ∈ norte ⟩ ser la función F ( i ) = S i .
¿Por qué elegir conjuntos para ser los objetos primitivos en matemáticas en lugar de, digamos, tuplas?
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