La función Dirac-delta como estado inicial de la partícula libre cuántica

De hecho, así es como lo harías. Tenga en cuenta, sin embargo, que no hay nada que garantice que la solución sea razonable, o que la integral exista. De hecho, debido a que la ecuación de Schrödinger es reversible en el tiempo en gran medida, está esencialmente garantizado que no terminará en estados físicos.

Una cosa a tener en cuenta es que la frecuencia$\omega=\omega(k)$es una función del vector de onda$k$a través de la relación de dispersión, que esencialmente codifica la ecuación de Schrödinger, como$\omega=E/\hbar=\hbar k^2/2m$. Esto significa que el estado es

$$\begin{align} \Psi(x,t) & = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i(kx-\frac{\hbar k^2}{2m} t)} dk \\ & = \frac{1}{2 \pi} e^{i\frac{m}{2\hbar t}x^2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\frac{\hbar t}{2m}(k-\frac{m}{\hbar t}x)^2} dk . \end{align}$$ Esta integral, como sucede, sí converge. Mientras$t\neq0$, es una integral de Fresnel y no necesita regularización para converger. (Por otro lado, sus propiedades de convergencia son distintas del caso regularizado: no es absolutamente convergente, y la uniformidad de la convergencia wrt$x$y$t$es diferente). Una vez que lo integras, obtienes $$\Psi(x,t)=\sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right].$$ Tenga en cuenta, en particular, que esto es lo que obtiene si conecta$a=0$en la función de onda inicial de Ruslan. Ese es exactamente el procedimiento de regularización que sí puede ser útil pero no es estrictamente necesario.

Este estado, por supuesto, no es físico, como$|\Psi(x,t)|^2\equiv\text{const}$, pero eso es de esperar. Lo sorprendente es que la amplitud es distinta de cero y constante para todo el espacio, sin importar cuán pequeño sea.$t$es, pero de nuevo eso es de esperar, ya que$\delta(x)$contiene componente en cada momento, no importa cuán alto. Esta función se ve de la siguiente manera:

Tenga en cuenta que los componentes de mayor frecuencia están cada vez más alejados del origen. Esto es razonable ya que estos momentos más altos viajan más rápido.

Ahora, la verdadera pregunta es si esta función es realmente una solución a la ecuación de Schrödinger. Se obtuvo mediante el procedimiento estándar con la esperanza de que funcionara y, de hecho, si alguna solución funciona, esperamos que sea esta. Sin embargo, eso deja abierta la cuestión de si

$$\Psi(x,t)=\begin{cases}\delta(x) & t=0\\ \sqrt{\frac{m}{2\pi\hbar |t|}}e^{-i\mathrm{sgn}(t)\pi/4}\exp\left[i\frac{mx^2}{2\hbar t}\right]&t\neq 0\end{cases}$$ en realidad satisface la ecuación diferencial $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)$$ en cualquier sentido útil (presumiblemente distributivo). Queda como ejercicio para el lector. ( Ejercicio real para el lector).

Considere la evolución del paquete de ondas gaussianas . Su función de onda en la representación de posición se ve así:

$$\Psi(\vec r,t)=\left(\frac a{a+i\hbar t/m}\right)^{3/2}\exp\left(-\frac{\vec r\cdot \vec r}{2(a+i\hbar t/m)}\right).\tag1$$

La densidad de probabilidad relativa correspondiente es

$$P(r)=|\Psi|^2=\left(\frac a{\sqrt{a^2+(\hbar t/m)^2}}\right)^3\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right),\tag2$$

o, despreciando el coeficiente total dependiente del tiempo e independiente de la posición,

$$P'(r)=\exp\left(-\frac{a\vec r\cdot\vec r}{a^2+(\hbar t/m)^2}\right).\tag3$$

Obtiene una función de onda tipo delta de Dirac de un gaussiano inicial cuando toma el límite$a\to0$. Pero para cualquier finito$t$el límite de$(3)$es

$$\lim_{a\to0}P'(r)=1,$$

es decir, en cualquier momento finito desde el comienzo de la evolución, su posición será completamente indeterminada. Así que ahora ya nada está realmente determinado, ya sea el impulso o la posición, por lo que tratar de encontrar la evolución de dicho estado es en gran medida inútil: no se puede predecir nada a partir de su estado final.

Quiero preguntar si es razonable que use la función Dirac-Delta como estado inicial ($\psi(x,0)$) para la función de onda de la partícula libre e interpretarlo de tal manera que diga que la partícula está exactamente en$x=0$mientras tanto$t=0$?

No, porque la función delta no cumple con la interpretación de Born de la función$\psi$. Función evolutiva que es función delta en$x$en el momento$t_0$no le dará una función de onda regular, pero le dará el propagador de la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo. Esto se puede utilizar para expresar la función de onda regular en el tiempo$t$como una integral de la función de onda en algún momento anterior$t_0$. Consulte la sección "El propagador de partículas libre" en http://physwiki.ucdavis.edu/Quantum_Mechanics/1-D_Quantum_Mechanics/Time-Dependent_Solutions%3a_Propagators_and_Representations