¿Cómo determino la ubicación de una partícula libre con la ecuación de Schrödinger?

Question

¿Cómo determino la ubicación de una partícula libre con la ecuación de Schrödinger?

máscara de bits

Estoy tratando de familiarizarme con la ecuación de Schrödinger mirando una partícula libre. Estoy seguro de que en algún momento entendí mal algo.

Según un libro de texto y una conferencia, la partícula libre que se mueve en la dirección x positiva se puede describir mediante

Ψ (X, t) = A {mi}^{i (k X - ω t)} = ψ (X) \cdot {mi}^{- i ω t}

$\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)} = \psi(x) \cdot e^{-i\omega t}$

Clásicamente, esperaría que la partícula se moviera a lo largo de su trayectoria con una velocidad constante $v = (x-x_0)/t$ , por lo que me gustaría determinar la probabilidad $P(x,\Delta x,t)$ encontrar la partícula entre $x$ y $\Delta x$ en el momento $t$ para compararlo con la ubicación clásica $x(t) = x_0 + v\cdot t$ .

Como estoy buscando una ubicación, tengo que usar el operador de ubicación (trivial) $\hat{r} = r$ y obtengo:

PAG (X, Δ X, t) = \int_{X}^{X + Δ X} Ψ (X, t)^{*} \hat{Ψ (X, t)} d X = \int_{X}^{X + Δ X} Ψ (X, t)^{*} Ψ (X, t) d X = A^{2} \int_{X}^{X + Δ X} {mi}^{i (k X - ω t)}^{*} {mi}^{i (k X - ω t)} d X = A^{2} \int_{X}^{X + Δ X} d X = A^{2} Δ X

$P(x,\Delta x,t) = \int_x^{x+\Delta x}\Psi(x,t)^* \hat{\Psi(x,t)} dx\\ = \int_x^{x+\Delta x}\Psi(x,t)^* \Psi(x,t) dx\\ = A^2\int_x^{x+\Delta x} {e^{i(kx - \omega t)}}^* {e^{i(kx - \omega t)}} dx \\ = A^2\int_x^{x+\Delta x} dx = A^2 \Delta x$

Lo cual no tiene ningún sentido para mí, ya que no depende de ninguno de los dos. $x$ o $t$ . La partícula no está en todos los lugares a lo largo del eje x con la misma probabilidad en todo momento; Prefiero esperar que se mueva a lo largo del eje con la velocidad $v$ pero independientemente de las constantes que meto $A$ mediante el uso de restricciones de normalización, $P$ nunca dependerá de $t$ . Pero según tengo entendido, debería.

Obviamente, mi comprensión es incorrecta y/o cometí algunos errores en mi cálculo. ¿Dónde me estoy equivocando?

Vibert

Esto no funciona para la partícula libre, ya que la función de onda no es integrable al cuadrado:

\int 1 d x = \infty .

$\int 1 dx = \infty.$ ¡Pero repita este ejercicio para una partícula en una caja, por ejemplo!

máscara de bits

@Vibert: si atrapo la partícula, esto simplemente cambia la normalización y me da un valor finito para A. Pero la derivación central no parece cambiar.

Vibert

Por cierto, no está insertando el operador de posición sino el operador que es una "función de cuadro" que es 1 en el intervalo

[x, x + d x]

$[x,x+ dx]$ y 0 en caso contrario. El valor esperado de la posición no está definido:

⟨ x ⟩ = \int x ψ^{*} ψ = \int x = \infty .

$\langle x \rangle = \int x \psi^* \psi = \int x = \infty.$

Respuestas (3)

¿Cómo determino la ubicación de una partícula libre con la ecuación de Schrödinger?

Esto no funciona para la partícula libre, ya que la función de onda no es integrable al cuadrado: $\int 1 dx = \infty.$ ¡Pero repita este ejercicio para una partícula en una caja, por ejemplo!
@Vibert: si atrapo la partícula, esto simplemente cambia la normalización y me da un valor finito para A. Pero la derivación central no parece cambiar.
Por cierto, no está insertando el operador de posición sino el operador que es una "función de cuadro" que es 1 en el intervalo $[x,x+ dx]$ y 0 en caso contrario. El valor esperado de la posición no está definido: $\langle x \rangle = \int x \psi^* \psi = \int x = \infty.$

Juan Rennie · Answer 1

Cuando resuelves la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, obtienes una familia de soluciones de la forma $\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ y todas las superposiciones de estas funciones. Entonces, solo resolver la ecuación de Schrödinger no te da una solución para una partícula específica. Para ello es necesario especificar las condiciones iniciales.

Si tomas la solución como $\Psi(x,t) = A e^{i(kx - \omega t)}$ entonces (sin darte cuenta) estás especificando que la condición inicial es una partícula completamente deslocalizada, es decir, una de la que tenemos un conocimiento preciso del momento pero no de la posición. Es por eso que cuando intentas calcular la posición obtienes una respuesta tonta.

Si especifica las condiciones iniciales como $\Psi(x, 0)$ entonces ha creado efectivamente un paquete de ondas que describe su partícula, por lo que tiene una incertidumbre finita en la posición y, por supuesto, ahora una incertidumbre finita en el momento. Ahora puede calcular el valor esperado de la posición en función del tiempo.

Su $\Psi(x, 0)$ probablemente se expresará como una superposición lineal de las soluciones de onda plana. Para calcular la superposición simplemente transforme su Fourier $\Psi(x, 0)$ .

Respuesta al comentario:

En tu comentario preguntas:

Primero tendría que conectar algunas restricciones y obtener un valor para A o ¿cómo haría eso?

pero no es sólo una cuestión de elegir el valor de $A$ en $A e^{i(kx - \omega t)}$ porque esto no describe una partícula localizada sea cual sea el valor que elija para $A$ .

Supongamos que en el momento $t = 0$ conocemos la posición de la partícula con precisión, $x = 0$ . Esto significa que la función de onda inicial es una función delta :

Ψ (X, 0) = d (X) {mi}^{- i ω t}

$\Psi(x, 0) = \delta(x) e^{-i\omega t}$

es decir $\Psi(x, 0)$ es cero en todas partes excepto en $x = 0$ . La posición de esta partícula es obviamente $x = 0$ .

El problema es que no es obvio cómo evoluciona esta función de onda en el tiempo. Sabemos cómo evolucionan las ondas planas en el tiempo, por lo que podemos calcular fácilmente la evolución en el tiempo si pudiéramos expresar la $\delta(x)$ funcionan como una suma de ondas planas:

d (X) = \sum_{i} A_{i} {mi}^{i (k X - ω t)}

$\delta(x) = \sum\limits_i A_i e^{i(kx - \omega t)}$

El problema es averiguar cómo hacer esta suma, es decir, ¿cuáles son los valores de los coeficientes $a_i$ y cuántos términos necesitamos en la suma. Podemos resolver esto por Fourier transformando nuestro $\delta$ porque esto es exactamente lo que hace una transformada de Fourier. Expresa cualquier función como integral de ondas planas. El artículo de Wikipedia que he vinculado entra en más detalles sobre esto. La respuesta es que:

d (X) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{i (k X - ω t)} d k

$\delta(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(kx - \omega t)} dk$

De hecho, elegir un $\delta$ La función como las condiciones iniciales no es útil porque si tenemos una posición exacta, tenemos una incertidumbre infinita en el momento, y si el momento es infinitamente incierto, no podemos calcular la posición futura. Si está tratando de describir un sistema real, elegiría algo como un Gaussiano:

Ψ (X, 0) = k {mi}^{- (X^{2} / Δ X^{2})}

$\Psi(x, 0) = k \space e^{-(x^2/\Delta x^2)}$

Esto describe una partícula con el valor esperado de $x = 0$ y la incertidumbre en $x = \Delta x$ . Ahora puede transformar su Fourier $\Psi(x, 0)$ para expresarlo como una integral de ondas planas, y ahora puede calcular el valor esperado de $x$ como una función del tiempo.

La primera mitad de esta respuesta en realidad tiene sentido para mí, pero la segunda no la entiendo del todo (y el voto negativo me confunde). De todos modos, para obtener una respuesta que no sea tonta, primero tendría que conectar algunas restricciones y obtener un valor para A o ¿cómo haría eso?
La respuesta es correcta, no recibo el voto negativo. En la última declaración, será una superposición lineal de ondas libres, solo para que quede más claro.
@bitmask: el voto negativo también me confunde :-) He editado mi respuesta para responder a tu comentario. Espero que esto quede más claro y no más confuso :-)
Me parece que lo has explicado lo mejor humanamente posible y ahora me queda un poco más claro el tema, gracias. Pero ahora mata las partes que pensé que ya había entendido... volvamos a los libros, entonces :)
@bitmask: anímese, este es un error muy común para los principiantes en QM. Eche un vistazo a farside.ph.utexas.edu/teaching/qmech/lectures/node25.html para obtener más información sobre las matemáticas involucradas y demostrations.wolfram.com/EvolutionOfAGaussianWavePacket para ver una animación.
@JohnRennie, Ay. Acabo de escribir una respuesta con una solución de wavepacket).
@PeterKravchuk: ¡tu respuesta es mejor que el artículo que vinculé! +1 :-)

Pedro Kravchuk · Answer 2

Quiero dar más detalles sobre la respuesta de John Rennie. La ecuación de Schrödinger para una partícula libre es ( $\hbar=1$ ):

i \frac{\partial}{\partial t} ψ = - \frac{1}{2 metro} \frac{\partial^{2}}{\partial X^{2}} ψ .

$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=-\frac{1}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi.$ Es una ecuación diferencial de primer orden en variable

t

$t$ . Para resolverlo, debe especificar los datos iniciales, por ejemplo,

ψ (t = 0)

$\psi(t=0)$ . En este punto, debe tener en cuenta que el principio de incertidumbre funciona, por lo que no puede decir que tiene una partícula que viaja de forma

x_{0}

$x_0$ con velocidad

v

$v$ . Si elige una onda plana como su dato inicial, está diciendo que el impulso (velocidad) es exacto y, por lo tanto, la incertidumbre en

x

$x$ es infinito -- la partícula puede estar en cualquier punto. Tales estados no ocurren en experimentos reales. Sin embargo, puede elegir algunos datos iniciales razonables como:

ψ (X, 0) = A Exp (- X^{2} / 4 Δ X^{2} + i pag X) .

$\psi(x,0)=A\exp(-x^2/4\Delta x^2+ipx).$ si tomas el

| ψ |^{2}

$|\psi|^2$ , verás que es una partícula cerca

x = 0

$x=0$ (Distribución gaussiana con dispersión

Δ x

$\Delta x$ ). Si vas a la representación de momento, verás que la distribución de momento también es gaussiana alrededor

p

$p$ con dispersión sobre

1 / Δ x

$1/\Delta x$ (de acuerdo con el principio de incertidumbre):

ψ (k, 0) = A \sqrt{4 π Δ X^{2}} Exp (- (k - pag)^{2} Δ X^{2})

$\psi(k,0)=A\sqrt{4\pi\Delta x^2}\exp(-(k-p)^2 \Delta x^2)$

La pregunta es, ¿cómo resolver esta ecuación con estos datos iniciales? La forma más fácil es hacer una transformada de Fourier y escribir los datos iniciales como la transformada inversa de Fourier:

ψ (X, 0) = \int \frac{d k}{2 π} ψ (k, 0) Exp (i k X)

$\psi(x,0)=\int \frac{dk}{2\pi} \psi(k,0)\exp(ikx)$ Ves que es una superposición de ondas planas, por lo que, en la medida en que la ecuación es lineal, puedes resolverla para ondas planas. La solución se lee como:

ψ (X, t) = \int \frac{d k}{2 π} ψ (k, 0) Exp (i k X - i ω (k) t), ω (k) = k^{2} / 2 metro

$\psi(x,t)=\int \frac{dk}{2\pi} \psi(k,0)\exp(ikx-i\omega(k)t),\\ \omega(k)=k^2/2m$ Puedes tomar esta integral porque es gaussiana y obtener:

ψ (X, t) = A \sqrt{\frac{2 Δ X^{2}}{2 Δ X^{2} + i t / metro}} Exp {- \frac{(X - pag t / metro)^{2}}{4 Δ X^{2} + 2 i t / metro} + i pag X - i t {pag}^{2} / 2 metro} .

$\psi(x,t)=A\sqrt{\frac{2\Delta x^2}{2\Delta x^2+it/m}}\exp\left\{-\frac{(x-pt/m)^2}{4\Delta x^2+2it/m}+ipx-itp^2/2m\right\}.$ Puede ver que su distribución Gasussiana para

x

$x$ viaja con velocidad

p / m

$p/m$ , tal como se esperaba. También puede notar que la incertidumbre en

x

$x$ esta creciendo.

¡Gracias! Tuve que leer esto un par de veces, pero creo que entendí la esencia. Parece que fallé horriblemente al elegir un ejemplo simple para entender la función de onda :)
Pero, ¿cómo se relaciona con la pregunta sobre P(x,\delta x,t)?
@freude $P(x,\Delta x,t)=\int_x^{x+\Delta x} |\psi(x,t)|^2 dx\simeq|\psi(x,t)|^2\Delta x$ . El paquete de ondas gaussianas es un ejemplo de una función de onda realizable experimentalmente.
@freude Es la probabilidad de encontrar la partícula en el intervalo $[x,x+\Delta x]$ al medir su posición en el tiempo $t$ .
¿Cómo vas a medir esto? ¿Cuál es la técnica? ¿No deberías localizar tu partícula para hacer eso?
@freude. No se puede medir la probabilidad. Pero si repites el mismo experimento muchas veces, donde el experimento consiste en preparar una partícula en este estado inicial, esperar un tiempo $t$ , y luego midiendo su posición, después de muchas repeticiones verá que las posiciones medidas satisfacen esta distribución.
@freude. Lo siento, tengo que irme. Estamos hablando de principios básicos de la mecánica cuántica. Puede leer sobre la interpretación de la función de onda en cualquier libro de texto de QM. Si crees que ya entiendes esto y estoy equivocado, entonces no es probable que te convenza ahora mismo. Gracias por la discusión.

freude · Answer 3

Los problemas con los que te has encontrado están relacionados con el hecho de que intentas calcular la probabilidad de alguna situación no física. La mecánica cuántica puede darte la probabilidad de un resultado de algún experimento. Esta función de onda no contiene ninguna información (restricciones) sobre la forma en que se va a medir y qué se va a medir (qué operador de coordenadas o momento). En otras palabras, calculas una probabilidad de nada. Por ejemplo, para medir el momento de la partícula, las personas pueden usar el experimento de doble rendija como configuración de medición. Si desea medir una coordenada espacial, primero debe localizar la partícula usando una pantalla con un agujero o algo como esto. Para la interpretación de tales experimentos, el problema "partícula en caja" puede ser útil.

Bueno, el ejemplo se discute en un (muy buen) libro de texto y una conferencia (simplemente no entran en detalles sobre la posición de la partícula). Así que debe tener algún significado. Una partícula libre con una velocidad constante no me parece una situación "no física". Admito que pude haber cometido algunos errores en mi cálculo, pero la premisa debería ser válida.
En la mecánica cuántica, "una velocidad constante" ya es una situación no física. Todo está fluctuando.
Hiciste todo bien en los cálculos. Entonces, si las afirmaciones iniciales son correctas, debe estar satisfecho con lo que obtuvo, es decir, el cuadrado de la norma multiplicado por un volumen de espacio. ¿Has oído algo sobre los observables?

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