Ecuación de Schrödinger en términos de la ecuación de Fokker-Planck

Sugerencias:

$\underline{(0) \Rightarrow (1)}$: No trate de lograr todo a la vez. Hazlo lentamente en tantos pasos como necesites para asegurarte de que estás calculando correctamente y entiendes todo. El truco es integrar por partes. Tenga mucho cuidado de hacer un seguimiento de lo que depende de$x$y de que depende$x^{\prime}$.

$\underline{(1) \Rightarrow (2)}$: Utilice la serie de Taylor

$$f( x^{\prime} ,t+\varepsilon ) ~=~f( x^{\prime} ,t) +\varepsilon\frac{\partial }{\partial t}f\left( x^{\prime },t\right) +{\cal O}\left( \varepsilon ^{2}\right).$$

El autor del artículo de Wikipedia señala que las ecuaciones son "formalmente equivalentes". Creo que esto significa que tanto las ecuaciones de Schrödinger como las de Fokker-Planck describen la evolución de una función a lo largo del tiempo. Entonces, como se hace en la mecánica cuántica con las integrales de trayectoria de Feynman, podemos escribir la ecuación diferencial parcial en términos de una integral de trayectoria y hablar de “propagación” del estado inicial a través del tiempo.

Aquí se explica cómo pasar de (0) a (1).

Primero, observe esta propiedad de la función delta:

$$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta^{\left(n\right)}\left(x'-x\right)dx=\left(-1\right)^{n}f^{\left(n\right)}\left(x'\right)$$

donde el superíndice$\left(n\right)$indica la n-ésima derivada. Puedes mostrar esto mediante la integración por partes.

En el lado derecho de la ecuación (0), hay primero y segundo$x$derivados de$f(x,t)$y los derivados de$\mu\left(x,t\right)$y$D\left(x,t\right)$se puede agrupar en el$D_{1}\left(x,t\right)$y$D_{2}\left(x,t\right)$de la ecuación (1).

$$\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)=\left(-D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial}{\partial x}+D_{2}\left(x,t\right)\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\right)f\left(x,t\right)$$

No estoy seguro de lo que sucede con el término.$\left(\frac{\partial^{2}D\left(x,t\right)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial\mu\left(x,t\right)}{\partial x}\right)f\left(x,t\right)$. Tal vez estas derivadas espaciales puedan ignorarse, si asumimos que las funciones$\mu\left(x,t\right)$y$D\left(x,t\right)$no varían significativamente con$x$.

Ahora, las derivadas de la función delta se pueden usar para escribir los términos del lado derecho como:

$$-D_{1}\left(x',t\right)\frac{\partial}{\partial x'}f\left(x',t\right)=-\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial f\left(x,t\right)}{\partial x}\delta\left(x'-x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}D_{1}\left(x,t\right)\frac{\partial\delta\left(x'-x\right)}{\partial x}f\left(x,t\right)dx$$

y análogamente para el segundo término. Sumándolos obtenemos la ecuación (1).

Para llegar a la ecuación (2) siga la sugerencia de Qmechanic y Taylor expanda alrededor$t$.

Pasar de la ecuación (0) a la (1) es básicamente escribir el adjunto del operador lineal en la ecuación de Fokker Planck (con un estándar$L^2$producto Interno). Entonces, la primera ecuación es básicamente las siguientes declaraciones:

$$\dfrac{\partial f(x,t)}{\partial t}=\mathcal{L}_xf\text{ where }\mathcal{L}_x\equiv-\dfrac{\partial}{\partial x}D_1(x,t)+\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}D_2(x,t)$$ y dado (para todas las funciones de valor real) $$\langle f,g\rangle=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}xf(x)g(x)$$ entonces el adjunto ( $\mathcal{L}_x^\dagger$) de $\mathcal{L}_x$Se define como $$\langle\mathcal{L}f,g\rangle=\langle f,\mathcal{L}_x^\dagger g\rangle$$ lo que implica $$\mathcal{L}_x^\dagger=D_1(x,t)\dfrac{\partial}{\partial x}+D_2(x,t)\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}$$