Pozo de potencial delta 3D

El pozo de potencial delta 1D V ( X ) = − A d ( X − a ) siempre tiene exactamente un estado ligado. Lo mismo es cierto para el pozo de potencial delta 3D V ( r → ) = − A d ( r → − a → ) . Puedo mostrar esto para ℓ = 0 , no sé cómo hacer los cálculos de otra manera.

Así que dos preguntas,

  1. ¿Puedo concluir que solo hay un estado límite para el pozo de potencial 3D para ℓ ≠ 0 ? He visto que las energías de los estados propios para el átomo de hidrógeno dependen solo de norte , pero me pregunto si este es un ejemplo de un resultado más general.

  2. Cuando a → = 0 y ℓ = 0 , no hay estados propios normalizables. Para ℓ ≠ 0 , el potencial efectivo en la ecuación radial se vuelve grande en el origen, ¿puedo usar esto para concluir que no hay estados ligados cuando a → = 0 ?

Respuestas (1)

Dado que el espectro de energía no depende de la posición absoluta r → = a → del potencial delta, podemos suponer que a → = 0 → . Por lo tanto, en su formulación actual (v1), OP dice efectivamente que

El atractivo potencial delta 1D V ( X ) = − A d ( X ) , A > 0 , tiene exactamente un estado enlazado. Lo mismo es cierto para el potencial delta 3D V ( r → ) = − A d 3 ( r → ) .

No, el potencial delta 3D desnudo no constituye un problema matemático bien planteado sin algún tipo de regularización/renormalización, véase, por ejemplo, Ref. 1 y ref. 2. El espectro desnudo tiene infinitos estados ligados y no está acotado desde abajo.

Esto último puede demostrarse rigurosamente mediante, por ejemplo, el método variacional . Prueba: considere una función de onda de ensayo/prueba gaussiana normalizada

ψ ( r )   =   norte mi − r 2 2 L 2   =   norte mi − X 2 + y 2 + z 2 2 L 2 , ∫ d 3 r   | ψ ( r ) | 2   =   ⟨ ψ | ψ ⟩   =   1 ,

dónde norte , L > 0 son dos constantes. Por razones dimensionales, la constante L debe tener dimensión de longitud, y 1 / norte 2 debe tener dimensión de volumen. Resulta que

  1. La constante de normalización norte debe escalar como

    norte   ∝   L − 3 2 .

  2. El valor esperado ⟨ ψ | k | ψ ⟩ del operador de energía cinética k = − ℏ 2 2 metro Δ debe escalar como

    0   ≤   ⟨ ψ | k | ψ ⟩   ∝   L − 2 ,
    esencialmente porque el laplaciano Δ = ∇ → 2 contiene dos derivadas de posición.

  3. El valor esperado ⟨ ψ | V | ψ ⟩ de la energía potencial V = − A d 3 ( r → ) debe escalar como

    0   ≥   ⟨ ψ | V | ψ ⟩   =   − A norte 2   ∝   − L − 3 .

Así al elegir L → 0 + cada vez más pequeña, la energía potencial negativa ⟨ ψ | V | ψ ⟩ ≤ 0 supera la energía cinética positiva ⟨ ψ | k | ψ ⟩ ≥ 0 , de modo que la energía media ⟨ ψ | H | ψ ⟩ se vuelve cada vez más negativo,

⟨ ψ | H | ψ ⟩   =   ⟨ ψ | k | ψ ⟩ + ⟨ ψ | V | ψ ⟩   →   − ∞ por L → 0 + .

Por lo tanto, el espectro es ilimitado desde abajo.

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Referencias:

  1. S. Geltman, Bound States in Delta Function Potentials, Journal of Atomic, Molecular, and Optical Physics, volumen 2011, artículo ID 573179 .

  2. RJ Henderson y SG Rajeev, Integral de trayectoria renormalizada en mecánica cuántica, arXiv:hep-th/9609109 .

+1 como uno de esos fragmentos invaluables de física crucial, uno puede obtener un análisis dimensional simple, en el mismo cuadro que el período de un péndulo escalado como 1 / longitud (aunque un resultado algo más sofisticado).
@Qmechanic: +1, pero uno debería preguntar sobre el límite adecuado, el que no explota.
Referencias: 1. DB Kaplan, 2016 conferencias sobre EFT , p. 8.
¿Se necesita regularización también para potenciales delta repulsivos?
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