Polos para una partícula dispersa en un potencial delta

Estoy trabajando en un problema que me dio un profesor para tener una idea de la investigación que hace, y he llegado a un punto en el que tengo dificultades para ver a dónde debo ir desde donde estoy. También me gustaría seguir adelante y disculparme por no saber cómo formatear correctamente.

Me dijeron que una partícula se dispersa con el hamiltoniano dado:

H = PAG 2 − gramo d ( X )
Dónde d ( X ) es la función delta de Dirac . Pude encontrar los estados en la representación de momento, y se suponía que Fourier los transformaría para obtener los estados de representación de posición. Hacer esto conduce a una integral con polos simples en el eje real, y se puede resolver moviendo los polos por encima o por debajo del eje real por alguna constante, aplicando el teorema del residuo y llevando la constante a cero. Esto lleva a tres soluciones diferentes, dependiendo de si muevo un polo hacia arriba y otro hacia abajo (dos posibilidades), o ambos polos en un contorno.

Mientras hablaba con mi profesor, mencionó que las soluciones solo funcionan para ciertos valores de X , y que el rango de X viene dada por lo que hace que el arco en el contorno vaya a cero. De hecho, tengo problemas para ver esto, ya que introduce una ambigüedad en las soluciones. Si muevo el polo izquierdo hacia arriba y el polo derecho hacia abajo y cierro el contorno en el plano superior, esto significa que x tiene que ser positivo para obtener una exponencial decreciente en la integral. Sin embargo, nada me impide mover los polos en sentido contrario y cerrar arriba para obtener una solución diferente para X > 0 .

¿Hay algo mal en las matemáticas, o la forma en que muevo los polos se rige por la situación física que me interesa? (Lo cual no sería ondas planas moviéndose hacia la izquierda por X > 0 d.)

Debo mencionar que estoy asumiendo:

| ψ >= | pag > + | ψ s C >

Donde p es el impulso entrante y | ψ s C > es la parte dispersa de la función de onda.

Trabajando en representación de cantidad de movimiento, obtengo:

ψ s C ( k ) = gramo − gramo 2 i 2 pag + gramo i 2 π ( k 2 − pag 2 )

Donde k es la variable de cantidad de movimiento y p es la cantidad de movimiento fija de la partícula entrante. La transformada que obtengo es:

ψ s C ( X ) = η ∫ − ∞ ∞ mi i k X k 2 − pag 2 d k

Aquí es donde me encuentro con el problema con los polos. Sé que no debería haber ondas viajando hacia la izquierda para X > 0 . Mi objetivo final es comprobar mis estados comprobando los coeficientes de reflexión y transmisión y confirmando que suman 1.

Creo que es más sencillo proceder, para este problema en particular, como en esta respuesta . No veo cómo obtienes los polos, tal vez sea útil agregar algunos detalles en tu pregunta.
Gracias, pero por lo que puedo decir, el profesor está tratando de motivar la renormalización y quiere que practique pasar del impulso a la representación de posición.
Puede que le interese mirar diferentes propagadores con diferentes prescripciones para i ϵ : ver 1 y 2 , (avanzado, retrasado, Feynmann). Incluso si trabajas en 1 dimensión espacial en lugar de 4 ( 3 espacial + 1 tiempo), te puede interesar.
Los polos en el eje de energía (tiempo transformado de Fourier) se desplazan por la causalidad del propagador (la transformada de Fourier del operador heaviside introduce el desplazamiento de polos). No veo ningún tiempo aquí. Tal vez ayudaría. ¿Se resuelve esto en la representación de interacción?

Respuestas (1)

Entonces, un detalle que omití de la pregunta fue que:

ψ s C ( k ) = gramo + gramo I 2 π ( k 2 − pag 2 )
Dónde:
I = ∫ − ∞ ∞ ψ ( q ) d q         ( 1 )
(Había usado prescripción arbitraria en la descripción original del problema, esto es lo que obtengo antes de resolver por I )
Usando la ecuación (1) podemos resolver para I , obteniendo:
I = gramo 2 π ∫ ∞ ∞ d q q 2 − pag 2 1 − gramo 2 π ∫ − ∞ ∞ d q q 2 − pag 2

Ahora, las integrales en I puede resolverse desplazando los polos sobre el eje real. Determinamos los desplazamientos por Transformada de Fourier ψ ( k ) para obtener ψ ( X ) , y mueve los polos para cumplir con nuestras condiciones de contorno: una onda plana que se mueve hacia la derecha durante X > 0 y una onda plana que se mueve hacia la izquierda durante X < 0 .

La Transformada de Fourier que obtenemos es proporcional a:

∫ − ∞ ∞ d k   mi i k X ( k + pag ) ( k − pag )
Si cerramos el contorno hacia arriba, esto da nuestra función de onda para X > 0 , ya que el arco del contorno debe ir a cero cuando el radio se lleva al infinito. Cerrando da la función de onda para X < 0 .

A través de algún razonamiento, obtenemos que la prescripción correcta está dada por:

límite ϵ → 0 ∫ − ∞ ∞ mi i k X ( k + pag + i ϵ ) ( k − pag − i ϵ )

Ahora, esta es la prescripción que tenemos que usar en I , y cuando hacemos la Transformada de Fourier. La primera vez que hice el problema, originalmente pensé que teníamos 3 recetas posibles para la Transformada de Fourier y para I . Sin embargo, tenemos que elegir la prescripción que se ajuste a nuestras condiciones de contorno y mantenerla durante todo el problema, ya que la prescripción restringe nuestra función de onda a las condiciones. Trabajar el resto del problema ahora produce los coeficientes de reflexión y transmisión correctos.

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