X=H−{(0,0)}X=H−{(0,0)}X=H - \{(0,0)\} es contráctil donde H={(x,y)|y≥0 }H={(x,y)|y≥0}H =\{(x,y) | y\geq 0\}

No necesitas convexidad.

Solo necesitas convexidad de estrella .

Afortunadamente tu set$X$es de hecho estrella convexa con respecto al punto$p = (0,1)$. En otras palabras, el segmento entre$p$y cualquier otro punto de$X$es de hecho un subconjunto de$X$. Ahora solo haz una homotopía en línea recta usando esos segmentos.

Sugerencia, intente utilizar la retracción de deformación habitual de$\Bbb S^1 \subseteq \Bbb R^2 \setminus \{0\}$, pero restringida al semiplano superior.

Puedo elaborar a pedido.

La convexidad no es una propiedad topológica. Todo lo que tiene que hacer es definir un homeomorfismo para un espacio convexo y puede aplicar la homotopía de la línea recta al otro espacio. Recuerde, un homeomorfismo compuesto con una homotopía es una homotopía (y el inverso de un homeomorfismo es un homeomorfismo).

Cada punto en el semiplano se encuentra en una línea que contiene el origen y se puede parametrizar por el ángulo de esa línea y la distancia desde el origen. Una vez que se elimina el origen, las posibles distancias al origen constituyen un intervalo abierto y, por lo tanto, es homeomorfo a cualquier otro intervalo abierto, incluidos los finitos. Por lo tanto, hay un homeomorfismo desde el semiplano perforado hasta una región rectangular (por ejemplo, puedes tomar el arctan de la distancia para obtener$(0,\pi)\times(0,\frac{\pi}2)$).

Además, la unión de espacios contráctiles con una intersección contráctil es contráctil, así que si la cortas en espacios contráctiles, eso también prueba que es contráctil.