Demostrar que un espacio contráctil es simplemente conexo

podemos multiplicar$G$por una homopotía$H$para sortear el obstáculo. Más precisamente, deja$H:[0,1]\times [0,1]\to X$Sea la homopotía definida por$H(s,t)=G(0,st)$. Notamos eso$H(1,t)=G(0,t)=G(1,t)=H(1,t)$para todos$t\in[0,1]$, así por cada$t\in[0,1]$, el producto$H_t*G_t*\overline{H_t}$se puede definir, donde$H_t:[0,1]\to X, s\mapsto H(s,t)$es el camino de$H$en el momento$t$.$\overline{H_t}$es el camino inverso de$H_t$(es decir,$\overline{H_t}(s)=H_t(1-s)$), el producto de caminos induce un producto de homotopías. Así podemos definir una homotopía$K:[0,1]\times [0,1]\to X$por

Ahora el camino$K(s,0)=H_{0}*G_{0}*\overline{H_0}=e_{x_0}*f*\overline{e_{x_0}}$es camino homotópico a$f$(tenga en cuenta que$[e_{x_0}*f*\overline{e_{x_0}}]=[e_{x_0}]*[f]*[\overline{e_{x_0}}]=[f]$). Del mismo modo, el camino$K(s,1)=H_{1}*G_{1}*\overline{H_1}=H_t*e_{x_0}*\overline{H_t}$es camino homotópico a$e_{x_0}$. También tenemos$K(0,t)=K(1,t)=G(0,0)=x_0$para todos$t\in[0,1]$, de este modo$K$es una homotopía de caminos entre$e_{x_0}*f*\overline{e_{x_0}}$y$H_{1}*G_{1}*\overline{H_1}$, de este modo$e_{x_0}*f*\overline{e_{x_0}}$y$H_{1}*G_{1}*\overline{H_1}$son caminos homotópicos, por discusión previa, vemos que$f$y$e_{x_0}$también son caminos homotópicos.

Desde$X$es contráctil existe una homotopía$h=h_t: id_X \to x_0$dónde$x_0 \in X$. Por lo tanto, si tomamos cualquier ciclo$\alpha: I \to X$entonces$h|_{\alpha}$acepta$\alpha$a$x_0$. Puedes mostrar$X$¿Está conectado por caminos? Sabes$h_t$toma cada punto en$X$a$x_0$por lo tanto dado cualquier$x,y \in X$entonces$h_{2t}(x) * h^{-1}_{2t-1}(y)$es un camino de$x$a$y$dónde$h^{-1}$representa el reverso de la homotopía, es decir$h^{-1}_0(y) = x_0$y$h^{-1}_1(y) = y$.

Usando este lema dado en Munkres Topology (que no es demasiado difícil de entender una vez que haya pasado por la prueba) se puede usar para mostrar que cualquier ciclo basado en$x_0$es el camino homotópico al bucle constante en$x_0$.
Tomando h como el mapa de identidad y k como el mapa constante, el lema da la identidad
$k_*$=$\hat α$o$h_*$
Esto dice que si f es un ciclo basado en$x_0$
[$\bar α$]$\ast$[$(hof)$]$\ast$[$α$] = [$kof$] que es el mapa constante basado en$x_0$.
ahora desde$α$en sí mismo es un bucle basado en$x_0$reemplazando f en la declaración anterior por$α$significa que es un camino homotópico al mapa constante. Por lo tanto, f en sí misma es un camino homotópico al mapa constante

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O podemos usar la idea de tipos homotópicos.
Se dice que los espacios X e Y son del mismo tipo homotópico si existen funciones continuas$f:X \to Y$y$g:Y\to X$tal que$fog$y$gof$son homotópicos a los respectivos mapas de identidad. Dado que X es contráctil, existe un mapa constante para el cual el mapa de identidad es homotópico. Por lo tanto, tomando Y como el conjunto único que contiene la imagen del mapa constante, X e Y son del mismo tipo homotópico y, por lo tanto, sus grupos fundamentales son isomorfos.

Dado que X es contráctil.
Por lo tanto existe una función$α:X \to X$,$α(x) =x_0$que es homotópico al mapa de identidad en$X$.
Por lo tanto, el subespacio {$x_0$} es una retracción de deformación de X y, por lo tanto, X es simplemente conexo.