La esfera unitaria sin un punto es contráctil

Dejar$a$ser un punto en la esfera unitaria$S=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1\}$.

1. como muestro eso$S\backslash\{a\}$es contractible?
2. ¿Cómo muestro que un bucle no sobreyectivo$\phi\in P(S,s)$con punto base$s$es camino homotópico al bucle constante con imagen$s$?

Lo que yo sé:

1. Contráctil significa que debe haber un$s\in S\backslash\{a\}$tal que el mapa constante$S\backslash\{a\}\rightarrow S\backslash\{a\}$con imagen$s$es homotópico a la identidad en$S\backslash\{a\}$.
   Entonces quiero un mapa continuo (homotopía)$f:[0,1]\times S\backslash\{a\}\rightarrow S\backslash\{a\}$tal que$f(0,x)=s$y$f(1,x)=x$.
   ¿Qué me falta todavía en mi prueba?

2. Un bucle es un camino cerrado: un mapa continuo$\gamma:[0,1]\rightarrow S$con$\gamma(0)=\gamma(1)=s$. Así que el bucle constante$\gamma'$tiene$\gamma'(t)=s$para todos$t\in[0,1]$.
   Camino homotópico (entre$\phi$y$\gamma'$) significa que hay un mapa continuo$g:[0,1]\times[0,1]\rightarrow S$tal que

   $$g(0,a)=\phi(a)\text{, }g(1,a)=\gamma'(a)=s\text{, }g(b,0)=s\text{, }g(b,1)=s$$ para todos$a,b\in [0,1]$.

Editar:
Entonces obtuve la sugerencia de que debería usar la homotopía de contratación de 1., pero no sabría qué hacer con ella, y qué homotopía se refiere.
También si demuestro que$\mathbb{R}^2$es contráctil, he probado entonces 1. debido al homeomorfismo con$S\backslash\{a\}$?