Demostrar que la línea larga no es contráctil.

Dada la siguiente definición de línea larga:

Dejar ω 1 sea ​​el primer ordinal incontable y considere [ 0 , 1 ) como un conjunto ordinario. Definir el rayo largo como el conjunto ordenado. ω 1 × [ 0 , 1 ) tomadas en orden lexicográfico. Como espacio, se le da la topología de orden. Define la línea larga como el espacio obtenido al pegar dos rayos largos juntos en sus puntos iniciales.

Demostrar que la línea larga no es contráctil.

Un esquema de una prueba se puede dar de la siguiente manera:

Supongamos que es contractible. Entonces, denotando L para ser la línea larga, existe una homotopía H : L × [ 0 , 1 ] → L tal que, por X ∈ L , H ( X , 0 ) = C , una constante y H ( X , 1 ) = i d L , el mapa de identidad. Para cada t ∈ [ 0 , 1 ] , ∀ X ∈ L , H ( X , t ) sería por tanto un intervalo, ya que L es conexo. Definir A = { t ∈ [ 0 , 1 ] : H ( X , t )  está ligado } . Si de alguna manera puedo demostrar que A está abierto, entonces desde 0 ∈ A , se daría el caso de que A = [ 0 , 1 ] . Pero esto es imposible, ya que 1 ∉ A .

Cualquier idea sobre cómo mostrar cómo A es a la vez cerrado y abierto?

Respuestas (1)

PISTA: Lo que has escrito no está del todo bien. H ( X , t ) es simplemente un punto de L ; Sospecho que quiere decir que para cada t ∈ [ 0 , 1 ] , el conjunto

H [ L × { t } ] = { H ( X , t ) : X ∈ L }

es un intervalo en L . Llámalo I t . entonces presumiblemente A = { t ∈ [ 0 , 1 ] : I t  está delimitado en  L } .

Arreglar t ∈ A , y deja b ∈ L ser tal que I t ⊆ [ − b , b ] . (Aquí estoy usando − b para la copia de b en la copia del rayo largo que está a la 'izquierda' del punto común de los dos rayos largos.)

  • Demuestra que en realidad I t ⊆ ( − b , b ) .

Dejar tu = H − 1 [ ( − b , b ) ] .

  • Muestra esa tu es un nbhd abierto de L × { t } en L × [ 0 , 1 ] y concluya que para cada X ∈ L hay un norte X ∈ norte y puntos tu X , v X ∈ L tal que tu X < X < v X y ( tu X , v X ) × B ( t , 2 − norte X ) ⊆ tu , dónde ( tu X , v X ) es un intervalo abierto en L , y
    B ( t , 2 − norte X ) = ( t − 2 − norte X , t + 2 − norte X ) ∩ [ 0 , 1 ] .

Para norte ∈ norte dejar L norte = { X ∈ L : norte X = norte } , y deja V norte = ⋃ X ∈ L norte ( tu X , v X ) .

  • Comprueba eso V norte × B ( t , 2 − norte ) ⊆ tu para cada norte ∈ norte .

Dejar V = { V norte : norte ∈ norte } ; V es una tapa abierta contable de L .

  • Muestra esa L es contablemente compacto. (Si aún no lo ha hecho, muestre primero que ω 1 con su topología de orden es contablemente compacta.) Use una subcubierta finita de V para mostrar que hay un norte ∈ norte tal que L × B ( t , 2 − norte ) ⊆ tu . Concluye esto A Esta abierto.

Mostrando que A está cerrado es más fácil. Dejar ⟨ t norte : norte ∈ norte ⟩ sea ​​una sucesión convergente en A con limite t ∈ [ 0 , 1 ] . Para cada norte ∈ norte hay un b norte ∈ L tal que I t norte ⊆ [ − b norte , b norte ] . Ahora usa el hecho de que { b norte : norte ∈ norte } debe estar delimitado en L .

Eso es muy útil, pero después de esa prueba, ¿por qué no funcionaría si simplemente sustituyera la línea real por la línea larga? Obviamente, la misma prueba no funciona, pero no me queda claro dónde falla. No parece fallar en el punto en que prueba que el conjunto es cerrado, ya que los intervalos cerrados de los reales contienen sus puntos límite. Pero tampoco veo dónde fallaría la prueba en el argumento abierto. Los reales también son compactos contables, por lo que no fallaría allí. ¿Puede proporcionar alguna idea? Gracias.
@nycguy92: La primera parte fallaría porque R , a diferencia de L , no es contablemente compacto. El segundo fallaría porque la unión de muchos subconjuntos numerables acotados de R no necesita ser acotado.
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