Espacios contractibles y mapas homotópicos

Question

Espacios contractibles y mapas homotópicos

continuidad
Matemáticas
teoría de la homotopía
topología general
Topología algebraica

Sir_Math_Cat

Estoy tratando de probar la siguiente afirmación, pero estoy atascado.

Dejar $X$ y $Y$ ser espacios topológicos. Si uno de ellos es un espacio contráctil, entonces toda función continua desde $X$ a $Y$ es homotópico a un mapa constante.

Comienzo de mi solución : suponga, sin pérdida de generalidad, que $X$ es un espacio contractible. Entonces el mapa de identidad $\mathrm{id}_{X}:X\to X$ es homotópico nulo tal que $\mathrm{id}_{X}\simeq c$ , dónde $c$ es un mapa constante. En otras palabras, existe una función continua $F:X\times[0,1]\to X$ tal que $F(x,0)=\mathrm{id}_{X}$ y $F(x,1)=c$ . Dejar $f:X\to Y$ sea una función continua. Entonces....

Ahí es donde estoy atascado. No estoy seguro de cómo mostrar que cualquier función continua arbitraria es necesariamente homotópica para un mapa constante. ¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

lee mosher

"Sin pérdida de generalidad" no es válido aquí, porque los roles de

X

$X$ y

Y

$Y$ no son simétricos: el problema es sobre funciones continuas de $X$ a $Y$ . La prueba cuando

X

$X$ es contraible es diferente de la prueba cuando

Y

$Y$ es contraible.

Respuestas (3)

Espacios contractibles y mapas homotópicos

"Sin pérdida de generalidad" no es válido aquí, porque los roles de $X$ y $Y$ no son simétricos: el problema es sobre funciones continuas de $X$ a $Y$ . La prueba cuando $X$ es contraible es diferente de la prueba cuando $Y$ es contraible.

eric wofsey · Answer 1

Para proporcionar un contexto un poco más amplio sobre la respuesta de ulo, considere la siguiente situación general. Suponer $g,g':A\to B$ y $f,f':B\to C$ son mapas con $g\simeq g'$ y $f\simeq f'$ a través de homotopías $H:A\times [0,1]\to B$ y $I:B\times[0,1]\to C$ . Entonces $f\circ g$ es homotópico a $f'\circ g'$ , simplemente "componiendo" las dos homotopías. Para ser precisos, usas la homotopía $J:A\times [0,1]\to C$ definido por $J(a,t)=I(H(a,t),t))$ .

En su caso, puede tomar $A=B=X$ , $C=Y$ , $g=\mathrm{id}_X$ , $g'=c$ , y $f=f'$ ser tu mapa arbitrario $X\to Y$ . Tu consigues eso $f\circ g=f\circ\mathrm{id}_X=f$ es homotópico a $f'\circ g'=f\circ c$ , y $f\circ c$ es un mapa constante porque $c$ es un mapa constante.

ulo · Answer 2

Dejar $g:X \to Y$ ser la función $g(x)=f(c)$ . Entonces $g$ y $f$ son homotópicas usando la función $G: X \times [0,1] \to Y$ cual es $G(x,r)= f(F(x,r))$ . Entonces $G(x,0)=f$ y $G(x,1)=g(x)= f(c)$ .

nancio · Answer 3

Como dijo Lee Mosher en los comentarios, hace una diferencia cuando asumes que X es contráctil o Y es contráctil. Dado que ulo solo se refirió al primero, me referiré al segundo (que es similar al caso contraible X).

Suponer $\text{id}_Y \stackrel{H}{\simeq} c$ dónde $H(y,0) = \text{id}_Y$ , y $H(y,1) = c$ . Para cada $f: X \rightarrow Y$ , definir $\tilde{H}(x,t)=H(f(x),t)$ , entonces $\tilde{H}(x, 0) = f(x)$ y $\tilde{H}(x, 1) = c$ , lo que significa $f \stackrel{\tilde{H}}{\simeq} c$ y cada mapa de $X$ a $Y$ es homotopía nula.

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Sir_Math_Cat

lee mosher

Respuestas (3)

eric wofsey

ulo

nancio

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