Demostrando que dos caminos en R2−{(0,0)}R2−{(0,0)}\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} son homotópicos.

Dejar F y gramo ser caminos en R 2 − { ( 0 , 0 ) } . Muestra esa F es homotópico a gramo .

Por la definición de un camino, tenemos F ( X ) : [ 0 , 1 ] → R 2 − { ( 0 , 0 ) } y gramo ( X ) : [ 0 , 1 ] → R 2 − { ( 0 , 0 ) } . Queremos encontrar una homotopía. F tal que F : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → R 2 − { ( 0 , 0 ) } , y F ( X , 0 ) = F ( X ) ; F ( X , 1 ) = gramo ( X ) . Sospecho que la homotopía F ( X , t ) = ( 1 − t ) F ( X ) + t gramo ( X ) no funcionará porque el libro da esta pista:

Sugerencia: demuestre que cada ruta es homotópica a la ruta constante que envía todo el intervalo al punto inicial de la ruta. Luego demuestre que dos caminos constantes son homotópicos usando el hecho de que R 2 − { ( 0 , 0 ) } es camino conectado.

Entonces mi pregunta es, ¿por qué tenemos que hacer este trabajo cuando la homotopía que he definido parece funcionar?

Tu homotopía podría pasar por el punto prohibido ( 0 , 0 ) .

Respuestas (1)

Desde R 2 − ( 0 , 0 ) es camino conectado, existe un camino continuo h : [ 0 , 1 ] → R − ( 0 , 0 ) tal que h ( 0 ) = F ( 0 ) y h ( 1 ) = gramo ( 0 ) . Definir F : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → R 2 − { ( 0 , 0 ) } como

F ( X , t ) = { F ( ( 1 − 3 t ) X ) , t ∈ [ 0 , 1 3 ] h ( 3 t − 1 ) , t ∈ [ 1 3 , 2 3 ] gramo ( ( 3 t − 2 ) X ) , t ∈ [ 2 3 , 1 ]

donde los tres casos son continuos y concuerdan en los dos puntos superpuestos t = 1 3 y t = 2 3 . Por lo tanto, F es continuo Además, F ( X , 0 ) = F ( X ) y F ( X , 1 ) = gramo ( X ) para todos X ∈ R 2 − ( 0 , 0 ) . De este modo, F es una homotopía deseada entre F y gramo .

Tenga en cuenta que no podemos definir F usando F ( X , t ) = ( 1 − t ) F ( X ) + t gramo ( X ) ya que puede existir X y t tal que F ( X , t ) = ( 0 , 0 ) . Arriba, evitamos este problema ya que las tres funciones F , gramo y h mapa en R 2 − ( 0 , 0 ) .

Gracias. Todavía estoy un poco confundido acerca de la última parte. Cual X y t podria hacer F ( X , t ) (0,0)? pensé que F ( X ) y gramo ( X ) no puede ser igual a 0 debido a cómo los definimos.
Depende exactamente de qué F y gramo son como. Supongamos por ejemplo que para cierto X 0 tenemos F ( X 0 ) = ( − 1 , 0 ) y gramo ( X 0 ) = ( 1 , 0 ) entonces F ( X 0 , 1 / 2 ) = ( − 1 / 2 , 0 ) + ( 1 / 2 , 0 ) = ( 0 , 0 ) . ¡Ups!
Eso lo aclara. ¡Gracias! :D
Demostrando que dos caminos en R2−{(0,0)}R2−{(0,0)}\mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} son homotópicos.
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