Homeomorfismo falso entre RRR y R2R2R^2

Question

Homeomorfismo falso entre RRR y R2R2R^2

Matemáticas
topología general
Topología algebraica

Tanay

Asistí a una conferencia hoy en la que se nos dio la prueba de la inexistencia de homeomorfismos entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$ . Se me ocurrió la siguiente biyección entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$ pero no pudo probar por qué esto no califica como un homeomorfismo válido.

Mapa $(x,y) \rightarrow (\frac 1 \pi (\tan ^{-1} x + \pi/2), \frac 1 \pi (\tan ^{-1} y + \pi/2))$ . Esta aplicación es continua, biyectiva y funciones $\mathbb R^2$ al cuadrado de la unidad.

Ahora, por cada par $(x,y)$ con $x = 0.a_1a_2 \cdots, y = 0.b_1b_2 \cdots$ siendo sus expansiones decimales, defina

F (X, y) = 0. a_{1} b_{1} a_{2} b_{2} \dots

$f(x,y) = 0.a_1b_1a_2b_2 \cdots$

f (x, y)

$f(x,y)$ es una biyección continua entre el cuadrado unitario y el intervalo

(0, 1)

$(0,1)$

Ahora, solo mapea $x \rightarrow \tan (\pi x - \pi/2)$ obtener una biyección continua entre $(0,1)$ y $\mathbb R$ .

¿Por qué la composición de estas funciones no es un homeomorfismo entre $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$ ?

grigorio m

¿Por qué exactamente?

f

$f$ es continuo? (En realidad, no lo es).

mdp

Tengo la misma pregunta que Grigory: puedo pensar en una razón heurística por la que

f

$f$ podría ser continuo, pero supongo que de hecho no lo es.

hmakholm sobra a Monica

No está relacionado con el problema real aquí, pero tenga en cuenta para futuras referencias que no todas las biyecciones continuas son un homeomorfismo. Un contraejemplo es que cualquier biyección de

P (N)

$\mathcal P(\mathbb N)$ con la métrica discreta a

R

$\mathbb R$ es continua, pero ninguno de estos son homeomorfismos, porque sus inversas no son continuas.

Benjamín Dickman

@Henning: Otro buen ejemplo de esto es la función

f : [0, 1) \to C

$f: [0, 1) \rightarrow C$ dónde

C

$C$ es el círculo unitario en el plano complejo, y

f (z) = e^{2 π i z}

$f(z) = e^{2 \pi i z}$ . Esta es una biyección continua cuya inversa no es continua.

Respuestas (3)

Homeomorfismo falso entre RRR y R2R2R^2

¿Por qué exactamente? $f$ es continuo? (En realidad, no lo es).
Tengo la misma pregunta que Grigory: puedo pensar en una razón heurística por la que $f$ podría ser continuo, pero supongo que de hecho no lo es.
No está relacionado con el problema real aquí, pero tenga en cuenta para futuras referencias que no todas las biyecciones continuas son un homeomorfismo. Un contraejemplo es que cualquier biyección de $\mathcal P(\mathbb N)$ con la métrica discreta a $\mathbb R$ es continua, pero ninguno de estos son homeomorfismos, porque sus inversas no son continuas.
@Henning: Otro buen ejemplo de esto es la función $f: [0, 1) \rightarrow C$ dónde $C$ es el círculo unitario en el plano complejo, y $f(z) = e^{2 \pi i z}$ . Esta es una biyección continua cuya inversa no es continua.

Martín Argerami · Answer 1

Su función media no es continua. Dejar $x_0=0.1$ , $y_n=0.4\overbrace{9\cdots9}^{n\text{ times }}0\cdots$ . Entonces $(x_0,y_n)\to(0.1, 0.5)$ . Tenemos

F (0.1, 0.5) = 0.15, F (0.1, y_{norte}) = 0.14090909 \dots

$f(0.1,0.5)=0.15,\ \ f(0.1,y_n)=0.14090909\cdots$ Entonces

| F (0.1, 0.5) - F (0.1, y_{norte}) | > 0.009

$|f(0.1,0.5)-f(0.1,y_n)|>0.009$ para todos

n

$n$ .

Como comentario general, cada vez que su prueba incluya una "parte de la mano que agita", debe sospechar de esa parte. Mucho. (dicho desde una amplia experiencia propia)

Por curiosidad, ¿a qué te refieres con "parte de la mano que agita"?
Cualquier cosa en la que lo hayas mirado y hayas dicho "Estoy seguro de que es verdad", pero no te hayas molestado en comprobarlo.

cameron buie · Answer 2

Tenga en cuenta que $0.4\bar{9}=.5$ , pero

F (0.4 \bar{9}, 0.4 \bar{9}) = 0.44 \bar{9} = 0,45 \neq 0,55 = F (0.5, 0.5),

$f(0.4\bar{9},0.4\bar{9})=0.44\bar{9}=0.45\neq 0.55=f(0.5,0.5),$ por lo que debe ser un poco más cauteloso con su intercalado para obtener una función. Incluso si proporciona una convención sobre cómo elegir la expansión decimal, esta función aún no será continua. Arregle uno de los argumentos y juegue con él para ver por qué.

Marc van Leeuwen · Answer 3

tu funcion $f$ no es continuo. Si lo fuera, entonces arreglando $y$ a algún valor arbitrario daría una función continua estrictamente creciente de $x$ del intervalo unidad a sí mismo, cuya imagen tendría que ser un intervalo; sin embargo, este no puede ser el caso dado que la mitad de los lugares decimales tienen dígitos que no cambian a lo largo de la imagen del mapa (esta restricción de $f$ muy severamente viola el teorema del valor intermedio). De hecho puedes comprobar que $f$ es discontinua en cualquier punto al menos una de cuyas dos coordenadas tiene una representación decimal finita. Para tales coordenadas, debe elegir una de las dos posibles representaciones decimales para trabajar en la definición de $f$ ; suponiendo que elija el finito (en lugar del que termina con todos los dígitos $9$ ), obtienes un salto discontinuo cuando bajas esa coordenada.

Puede notar que su función $f$ tampoco es sobreyectiva, esencialmente por alguna razón (por ejemplo $0.3919491959992969593959\ldots$ no está en la imagen). Como consuelo, sucede que es continuo en casi todas partes.

Puedo agregar que la consideración del teorema del valor intermedio muestra que para un mapa $f:\mathbf R^2\to\mathbf R$ (o $(0,1)^2\to(0,1)$ ), incluso el requisito más débil de ser continuo e inyectivo no se puede cumplir. Basta considerar dos puntos distintos $p_0,p_1\in\mathbf R^2$ , donde podemos suponer $f(p_0)<f(p_1)$ , y dos caminos en $\mathbf R^2$ de $p_0$ a $p_1$ que son disjuntos a excepción de los puntos finales. La restricción de $f$ a uno de esos caminos sigue siendo continuo, por lo que la imagen de esta restricción debe contener todo el intervalo $[f(p_0),f(p_1)]$ por el teorema del valor intermedio. Pero como esto es válido para ambos caminos, obtenemos una contradicción con la inyectividad (para cada valor entre $f(p_0)$ y $f(p_1)$ ).

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