¿En qué se diferencia un cilindro doblemente torcido de un cilindro?

Quizás la relación de equivalencia que desea es "isotópica", que significa brevemente "homotópica a través de homeomorfismos". Más precisamente, quiere saber si hay una isotopía de$C_0$a$C_2$, que por definición es una función continua$H : C_0 \times [0,1] \to \mathbb{R}^3$tal que$H(x,0)=x$,$H | C_0 \times \{t\}$es un homeomorfismo sobre su imagen para cada$t \in [0,1]$, y$H(C_0)=C_2$.

el límite de$C_m$cuando$m$incluso es un enlace de 2 componentes que indicaré$L_m$. Resulta que dados enteros pares desiguales$m,n$los enlaces$L_m,L_n$no son isotópicos, y por lo tanto los cilindros torcidos$C_m,C_n$no son isotópicos. La razón es que para cualquier enlace de 2 componentes hay una isotopía invariante llamada número de enlace . Uno puede calcular para cada número par$m$que el número de enlace de$L_m$es igual$m/2$(ver la imagen en esa página web que muestra$C_8$).

Para agregar un poco a lo que ha dicho @LeeMosher: estás pensando en$C_0$y$C_2$como las imágenes de dos incrustaciones distintas. Pero los dominios de estas incrustaciones son, por supuesto, homeomorfos.

Solo quería mencionar que además de la idea de isotopía que presenta Lee (que parece que podría ser lo que buscas), hay una idea un poco más débil que funciona en la categoría de variedades suaves y es la homotopía regular de las inmersiones ., en el que se le permite moverse por la imagen de una manera lo suficientemente suave (tendrá que mirar la definición para obtener más detalles), pero este "moverse" puede incluir cosas que pasan a través de otras cosas. En el plano, por ejemplo, podrías tener dos círculos uno al lado del otro, siendo el izquierdo más pequeño, O podrías tener dos círculos concéntricos. Ambas situaciones representan incrustaciones (o inmersiones) de un par de círculos en el plano. No son isotópicos, pero son regularmente homotópicos: simplemente desliza el círculo izquierdo (más pequeño) hacia la derecha hasta que se asiente dentro del más grande; en cada etapa, tiene una inmersión de un múltiple de "par de círculos".

La definición real contiene algunas sutilezas interesantes, que vale la pena analizar detenidamente, y el gran artículo introductorio sobre el tema es este:

Whitney, Hassler (1937). " Sobre curvas regulares cerradas en el plano ". Compositio Mathematica. 4: 276–284.

En el caso de sus dos incrustaciones de la superficie, no solo son homotópicas, como señala @AndrewD.Hwang en un comentario, son homotópicas regulares . Pero como señala Lee, no son isotópicos, debido a los números de enlace, etc. [Vea a continuación una ligera corrección de esta afirmación].

Adición posterior al comentario: me equivoqué en mi afirmación anterior, después de haber leído mal la definición de$C_2$--- Pensé que eran dos giros completos . Llamar a ese elemento$C_4$, lo cierto es que$C_4$y$C_0$son regularmente homotópicos, pero$C_2$no es regularmente homotópico para ninguno de ellos.

Esto está ligado al hecho de que$\pi_1(SO(3)) = \Bbb Z / 2 \Bbb Z$: si te imaginas$C_0$como un cilindro ancho, pero no alto, entonces puede dibujar una línea central$\gamma$en él, dando la vuelta al círculo. El vector tangente$T = \gamma'(t)$en cada punto de esta línea central se puede ajustar la longitud para que sea un vector unitario, y una normal hacia afuera$N$en cada punto da un segundo vector unitario, perpendicular. Un tercer vector,$S = N \times T$, en cada punto te da un triple$(T, N, S)$, que se puede considerar como un$3 \times 3$matriz con columnas perpendiculares de longitud unitaria, es decir, un elemento de$SO(3)$. Ya que obtienes uno de estos triples en cada punto$\gamma(t)$, terminas con un mapa$t \mapsto M(t) \in SO(3)$, con$M(0) = M(1)$, es decir, un elemento de$\pi_1(SO(3))$. Para el cilindro estándar$C_0$, el camino resultante es el generador de$\pi_1(SO(3))$.

Para$C_1$, en realidad no obtienes un bucle$\pi_1(SO(3))$, porque las direcciones inicial y final de$N$son opuestos.

Para$C_2$, obtienes un bucle en$\pi_1(SO(3))$, pero resulta ser el no generador en$\pi_1(SO(3))$.

Bajo homotopía regular, este elemento de$\pi_1(SO(3))$es invariante, y por lo tanto$C_0$y$C_2$no pueden ser mapas regularmente homotópicos. Pero$C_0$y$C_4$ puede ser, y de hecho lo son , y esta es la base de algunos equipos bastante inteligentes que se utilizan para centrifugar la sangre durante la aféresis de plaquetas, que (cuando solía donar plaquetas) se hacía extrayendo sangre de una vena, pasándola a través de un largo tubo de plástico con una bolsa colectora que cuelga de ella y luego regresa a otro lugar de la vena. Todo el conjunto de tubo y bolsa estaba fresco para cada paciente, pero en el medio, necesitaban hacer girar la sangre para separar las plaquetas en la bolsa colectora. Esto se hizo con un ensamblaje muy inteligente que funciona debido a la$\pi_1(SO(3))$truco.