¿Por qué el límite de la tira de Mobius se envuelve dos veces alrededor del círculo central pero no en ninguna otra línea?

Question

¿Por qué el límite de la tira de Mobius se envuelve dos veces alrededor del círculo central pero no en ninguna otra línea?

Matemáticas
mobius-band
teoría de la homotopía
topología general
Topología algebraica
homología-cohomología

no euler

Un espacio $X$ la deformación se retrae en un subespacio $A$ si existe un mapa continuo $F:X\times [0,1]\rightarrow X$ tal que $F(x,0)=x,F(x,1)\in A,F(a,t)=a$ $\forall a\in A$ .

La deformación de la tira de Möbius se retrae sobre su círculo central. Pero no entiendo cómo, bajo esta retracción por deformación,

El círculo límite envuelve dos veces el círculo central
Cualquier otra línea se envuelve solo una vez alrededor del círculo central

Creo que sucede 1 porque en cada paso de la retracción de la deformación, el límite da dos vueltas y así en el paso final (es decir, $t=1$ ) simplemente se convierte en el doble del círculo. Pero veo que esta razón funciona igual de bien para cualquier otra línea. Después de todo, ninguna de las líneas coincide realmente con la línea central hasta el último paso.

Cualquier ayuda sería apreciada.

trevor gunn

"Cualquier otra línea se envuelve solo una vez alrededor del círculo central" ¿estás seguro de esto? Mi conjetura (sin pensarlo) sería que el centro de la tira de Möbius se enrolla una vez, pero todas las demás líneas se enrollan dos veces.

no euler

@TrevorGunn Ese es mi razonamiento también. Pero veo gente escribiendo que cualquier línea que no sea el límite será un generador para el grupo de homología de la tira de Moebius.

rogerl

¿Has construido uno y lo has probado?

Respuestas (2)

¿Por qué el límite de la tira de Mobius se envuelve dos veces alrededor del círculo central pero no en ninguna otra línea?

"Cualquier otra línea se envuelve solo una vez alrededor del círculo central" ¿estás seguro de esto? Mi conjetura (sin pensarlo) sería que el centro de la tira de Möbius se enrolla una vez, pero todas las demás líneas se enrollan dos veces.
@TrevorGunn Ese es mi razonamiento también. Pero veo gente escribiendo que cualquier línea que no sea el límite será un generador para el grupo de homología de la tira de Moebius.

Pablo escarcha · Answer 1

La cinta de Möbius $M$ se puede obtener pegando dos aristas opuestas de un rectángulo mediante una orientación que invierte el homeomorpismo. Explícitamente, podemos definir

METRO = [0, 1] \times [- 1, 1] / \sim

$M = [0,1 ] \times [-1,1]/\sim$ dónde

(0, t) \sim (1, - t)

$(0,t) \sim (1,-t)$ . Dejar

p : [0, 1] \times [- 1, 1] \to M

$p : [0,1 ] \times [-1,1] \to M$ denote el mapa del cociente.

Luego obtienes varios tipos de círculos incrustados.

Tipo 1: El círculo central $C = p([0,1] \times \{0\})$ . Puede ser parametrizado por $c : [0,1] \to M, c(x) = [x,0]$ . El mapa $r : M \to C, r([x,t]) = [x,0]$ , es una fuerte retracción por deformación bien definida.

Tipo 2: Círculos $C_t = p([0,1] \times \{-t,t\})$ para $t \in (0,1]$ , especialmente el círculo límite $C_1$ . Estos pueden ser parametrizados por $c_t(x) = [2x,-t]$ para $x \le 1/2$ y $c_t(x) = [2x-1,t]$ para $x \ge 1/2$ . Estos círculos no se cruzan con el círculo central. Los mapas $r_t = r \mid_{C_t} : C_t \to C$ son $2$ - $1$ . De hecho, están cubriendo mapas con dos hojas.

Tipo 3. Círculos $C'_t = p(D_t)$ para $t \in [0,1]$ , dónde $D_t = \{(x,t(2x-1)) \mid x \in [0,1]\}$ . Estos pueden ser parametrizados por $c'_t(x) = [x,t(2x-1)]$ . Tenemos $C'_0 = C$ y para $t > 0$ estos círculos se cruzan con el círculo central en el punto único $[1/2,0]$ . Los mapas $r'_t = r \mid_{C'_t} : C'_t \to C$ son homeomorfismos.

Por supuesto, hay muchos más círculos incrustados, pero limitémonos a lo anterior.

Ahora es obvio que los círculos $C_t$ envuelva dos veces alrededor del círculo central, y que los círculos $C'_t$ envuelva una vez alrededor del círculo central.

¿Son los círculos de tipo 3 lo que obtienes cuando comienzas en un punto en el borde izquierdo y vas en diagonal (hacia arriba o hacia abajo según el punto) hasta el borde derecho?

trevor gunn · Answer 2

Creo que esta imagen responde a tu pregunta. Cada línea que no sea el centro se enrollará dos veces. Entonces "2. Cualquier otra línea se ajusta solo una vez alrededor del círculo central" no es correcto.

Crédito: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Moebiusband-1s.svg por el usuario Ag2gaeh . Licencia CC BY-SA 4.0 .

Entonces, ¿es cierto que solo el círculo central genera su grupo de homología y ninguna otra línea?
La imagen ciertamente ayuda y es parte de una buena solución, pero aún debe escribir ese punto 2. en la pregunta de OP es, de hecho, incorrecta.

¿Por qué el límite de la tira de Mobius se envuelve dos veces alrededor del círculo central pero no en ninguna otra línea?

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