Virasoro TT OPE (2.2.11) en el libro de Polchinski

Estoy tratando de entender eq. (2.2.11) en el primer libro de Polchinski.

el esta computando

: ∂ X m ( z ) ∂ X m ( z ) :: ∂ ′ X v ( z ′ ) ∂ ′ X v ( z ′ ) :

Ahora, entiendo por qué esta expresión se puede escribir como

(2.2.11) expresión anterior   =   : ∂ X m ( z ) ∂ X m ( z ) ∂ ′ X v ( z ′ ) ∂ ′ X v ( z ′ ) : − 4 α ′ / 2 ( ∂ ∂ ′ en ⁡ | z − z ′ | 2 ) : ∂ X m ( z ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : + 2 η m m ( − α ′ / 2 ∂ ∂ ′ en ⁡ | z − z ′ | 2 ) 2 .

Sin embargo, luego establece hacer una expansión de Taylor dentro del orden normal para obtener el OPE en forma estándar, es decir

∼   D α ′ 2 2 ( z − z ′ ) 4 − 2 α ′ ( z − z ′ ) 2 : ∂ ′ X m ( z ′ ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : − 2 α ′ z − z ′ : ∂ ′ 2 X m ( z ′ ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : + términos no singulares.

no entiendo el ultimo paso ¿Cómo inserta exactamente la expansión de Taylor? ¿Podría alguien por favor iluminar? Por ejemplo, no veo dónde va el primer término. ¿Eso desaparece cuando Taylor-expande?

Respuestas (1)

El primer término en su segunda ecuación no contiene ninguna singularidad y, por lo tanto, es parte de los "términos no singulares" al final de la última expresión. Para encontrar la forma final solo necesitas realizar las derivadas de los términos logarítmicos y Taylor expande el término : ∂ X m ( z ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : alrededor z = z ′ . Las contribuciones singulares de los diversos términos están dadas por

: ∂ X m ( z ) ∂ X m ( z ) ∂ ′ X v ( z ′ ) ∂ ′ X v ( z ′ ) : ∼ 0 − 4 α ′ 2 ( ∂ ∂ ′ en ⁡ | z − z ′ | 2 ) : ∂ X m ( z ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : ∼ − 2 α ′ ( z − z ′ ) 2 : ∂ X m ( z ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : − 2 α ′ z − z ′ : ∂ ′ ∂ ′ X m ( z ′ ) ∂ ′ X m ( z ′ ) : 2 η m m ( − α ′ 2 ∂ ∂ ′ en ⁡ | z − z ′ | 2 ) 2 ∼ D ( α ′ ) 2 2 ( z − z ′ ) 4

Gracias por tu respuesta. Todavía algunas partes no me quedan claras: Por ejemplo, la última ecuación. obtengo de eso 2 D ( − α ′ / 2 ∂ ′ ∂ yo norte | z − z ′ | 2 ) 2 = 2 D α ′ 2 / 4 ⋅ 4 ⋅ 1 / ( z − z ′ ) 4 = 2 D α ′ 2 1 ( z − z ′ ) 4 , es decir, no puedo reproducir el prefactor 1/2. En cambio, obtengo un prefactor de 2. ¿Dónde entra eso aquí?
Pero el registro es a la potencia de dos. Si repito tu cálculo obtengo: ∂ ′ ∂ yo norte | z − z ′ | 2 = ∂ ′ ∂ 2 yo norte | z − z ′ | = 2 ∗ ∂ ′ 1 z − z ′ = − 2 1 ( z − z ′ ) 2
@Afriendlyhelper: No estoy seguro de dónde están tus factores de 4 provienen, pero los derivados deben dar ∂ ∂ ′ en ⁡ | z − z ′ | 2 = 1 / ( z − z ′ ) 2 . Tenga en cuenta que | z − z ′ | 2 = ( z − z ′ ) ( z ¯ − z ¯ ′ ) .
Ah, está bien, gracias. En secreto, traté las z como variables reales :) Mi error. Ahí es donde obtuve el factor de cuatro. ¡Gracias!
Una pregunta más: ¿Cómo sé que el primer término de la respuesta es regular? ¿Por definición del ordenamiento normal?
@Afriendlyhelper: Sí, el orden normal se construye para eliminar las singularidades.
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