Álgebra de Kac-Moody, prueba de cálculo de parámetros

Estoy siguiendo las notas "Ginsparg - Teoría de campo conforme aplicada" ( https://arxiv.org/abs/hep-th/9108028 ) y estoy atascado en una prueba en la página 140 sobre álgebras de Kac-Moody. me gustaria probar que$\beta = 2\tilde{k} +C_A$utilizando la definición dada del tensor tensión-energía

$$T(z) = \frac{1}{\beta}\lim_{z\to z'} \left\{ \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-z')^2} \right\}$$ y la expansión del producto del operador (OPE) de dos corrientes conservadas $$J^a(z) J^b(w) = \frac{\tilde{k} \delta^{ab}}{(z-w)^2}+\frac{i f^{abc} J^c(w)}{(z-w)}.$$

Estoy siguiendo de esta manera: a partir de

$$T(z) J^b(w) = \frac{1}{\beta}\left\{\lim_{z\to z'} \sum\limits_{a=1}^{|G|} J^a(z) J^a(z') J^b(w) - \frac{\tilde{k}|G|}{(z-w)^2}J^b(w) \right\}.$$ Deseo demostrar que esto es igual a la OPE del tensor esfuerzo-energía con un campo primario $$T(z) J^b(w) = \frac{J^a(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial J^b(w)}{(z-w)}$$ si y solo si$\beta = 2\tilde{k} +C_A$, haciendo uso del valor propio cuadrático de Casimir en la representación adjunta$f^{abc} f^{acd} = \delta^{bd} C_A$.

¿Alguien podría explicarme todos los pasajes?