OPE de corriente de Lorentz con vértice de taquión

Esta es una pregunta relacionada con el capítulo 2 del libro de teoría de cuerdas de Polchinski. En la página 43, Polchinski calcula la corriente de Noether a partir de las traducciones del espacio-tiempo y luego calcula su OPE con el vértice del taquión, vea las ecuaciones (2.3.13) y (2.3.14)

$$j_a^{\mu} = \frac{i}{\alpha'}\partial_a X^{\mu}, \tag{2.3.13}$$ $$j^{\mu}(z) :e^{i k\cdot X(0,0)}:\quad \sim\ \frac{k^{\mu}}{2 z} :e^{i k\cdot X(0,0)}:\tag{2.3.14}$$

Quería hacer un cálculo similar pero para las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo. Primero calculé la corriente de Noether, obtengo

$$L^{\mu\nu}(z)~=~ :X^{\mu} \partial X^{\nu}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Luego calculé el OPE usando la fórmula de Wick (en la forma de la ecuación 2.2.10). mi resultado es $$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}: \quad \sim\ -\frac{\alpha'}{2} \ln |z|^2\ i k^{\mu} :\partial X^{\nu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~\frac{\alpha'}{2} \frac{1}{z}\ i k^{\nu} :X^{\mu} e^{i k\cdot X(0)}: ~-~ (\mu \leftrightarrow \nu).$$ Creo que esta respuesta es incorrecta debido al logaritmo en el lado derecho. Entonces mis preguntas son

1. Es$L^{\mu\nu}(z)$definido arriba, de hecho, la corriente de Noether de las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo?

2. es la OPE$L^{\mu\nu}(z) :e^{i k\cdot X(0)}:$arriba correcto?

3. ¿Hay algún enlace donde se realice este cálculo para que pueda comprobar mi resultado?