Orden normal en el operador de vértice de bosón libre

En teoría de cuerdas, si consideramos la CFT de un bosón libre X y considere el operador de vértice (momento):

V k ( z 1 , z 2 ) =: mi i k X ( z , z ¯ ) :

Luego tenemos la OPE:

: mi i k 1 X ( z 1 , z 1 ¯ ) :: mi i k 2 X ( z 2 , z 2 ¯ ) :   = | z 1 − z 2 | α ′ k 1 k 2 : mi i k 1 X ( z 1 , z 1 ¯ ) mi i k 2 X ( z 2 , z 2 ¯ ) :

dónde :: denota orden normal y α ′ es la pendiente Regge.

Lo que no entiendo es el cálculo de los VEV de dichos operadores de vértice:

⟨ 0 | V k 1 ( z 1 , z 1 ¯ ) V k 2 ( z 2 , z 2 ¯ ) | 0 ⟩ = | z 1 − z 2 | α ′ k 1 k 2 ⟨ 0 | : mi i k 1 X ( z 1 , z 1 ¯ ) mi i k 2 X ( z 2 , z 2 ¯ ) : | 0 ⟩

me parece que esto debería desaparecer, como cualquier VEV de productos pedidos normales. Sin embargo, mis notas de la conferencia String dicen que no.

¿Alguien podría explicar por qué este VEV ordenado normal no desaparece?

Comentario a la pregunta (v1): No es cierto que cualquier VEV de productos ordenados normalmente deba desaparecer. Por ejemplo, para el operador de identidad ⟨ 0 | : 1 ^ : | 0 ⟩   =   1 .
@Qmechanic Ya veo, ¿sugiere que la parte distinta de cero proviene de la potencia cero en el exponencial? Entonces tendríamos simplemente ⟨ 0 | 0 ⟩ .

Respuestas (1)

Tienes

⟨ 0 | : mi i k X 1 ( z 1 , z ¯ 1 ) mi i k 2 X ( 0 , 0 ) : | 0 ⟩ = ⟨ 0 | ( : mi i ( k 1 + k 2 ) X ( 0 , 0 ) : + O ( z 1 , z ¯ 1 ) ) | 0 ⟩

todos O ( z 1 , z ¯ 1 ) términos contendrán operadores que difieren de 1 , así que aniquila el | 0 ⟩ o ⟨ 0 | estado. El primer término no aniquila los estados si k 1 + k 2 = 0 , en realidad obtenemos ⟨ 1 ⟩ . Esto es lo que va a producir la conservación del momento de las amplitudes de dispersión.

⟨ 0 | V k 1 ( z 1 , z 1 ¯ ) V k 2 ( z 2 , z 2 ¯ ) | 0 ⟩ = | z 1 − z 2 | α ′ k 1 k 2 ( 2 π ) d d d ( k 1 + k 2 ) ⟨ 1 ⟩

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