Tensor de momento de energía de expansión de producto de operador

Tenemos la siguiente ecuación de Polchinski (2.4.6)

$$T(z)X^{\mu}(0) \sim \frac{1}{z}\partial X^{\mu}(0) , \tag{2.4.6}$$ dónde $T(z)$Se define como $T(z) = -\frac{1}{\alpha'} :\partial X^{\mu} \partial X_{\mu}:\tag{2.4.4}$y : : es el ordenamiento normal definido por $$:X^{\mu}(z,\bar{z}): = X^{\mu}(z,\bar{z})\tag{2.1.21a}$$ y $$:X^{\mu}(z_{1},\bar{z_{1}})X^{\nu}(z_{2},\bar{z_{2}}): = X^{\mu}(z_{1},\bar{z_{1}})X^{\nu}(z_{2},\bar{z_{2}}) + \frac{\alpha'}{2}\eta^{\mu \nu}\ln|z_{12}|^{2}.\qquad \tag{2.1.21b}$$

¿Cómo llegamos exactamente a la ecuación 2.4.6 a partir de estas definiciones? Entiendo las afirmaciones anteriores en el capítulo donde simplemente se expandieron en el orden normal, pero no puedo ver cómo se deriva lo anterior.

En particular, de http://arxiv.org/abs/0812.4408 (ejercicio 2.7), ¿cómo se concluye que

$$T(z)\partial X^{\mu}(0) \sim \frac{1}{z^{2}}\partial X^{\mu}(z) \tag{18}$$

Editar: solo una pregunta más: tenemos la expansión

$$:F::G: = exp(-\frac{\alpha'}{2}\int d^{2}z_{1}d^{2}z_{2}ln|z_{12}|^{2}\frac{\delta}{\delta X^{\mu}_{F}(z_{1},\bar{z_{1}}}\frac{\delta}{\delta X_{G\mu}(z_{2},\bar{z_{2}})}):FG:, \tag{2.2.10}$$

dado en Polchinski.

¿Existe alguna relación entre esto y la Identidad del Barrio dada por Polchinski (2.3.11)?

$$Res_{z \to z_{0}}j(z)A(z_{0},\bar{z_{0}}) + \bar{Res}_{\bar{z}\to \bar{z_{0}}}\tilde{j}(\bar{z})A(z_{0},\bar{z_{0}}) =\frac{1}{i\epsilon}\delta A(z_{0},\bar{z_{0}}), \tag{2.3.11}$$

¿Estos dan dos formas diferentes de calcular el peso de un operador dado?

El motivo de esta pregunta es que cuando intento calcular lo anterior siguiendo la respuesta dada aquí Identidad de expansión del producto del operador (OPE) , parece que no puedo encontrar cómo seguiría la ecuación (18). Parece como si el manual de soluciones de alguna manera concluye la derecha de la ecuación (18) y luego Taylor expande lo que da$\frac{1}{z^{2}} \partial X^{\mu}(0) + \frac{1}{z} \partial^{2}X^{\mu}(0)$. Si uno siguiera el cálculo dado en el enlace anterior, ¿no llegaría uno automáticamente a esto?

¡Gracias!