Teorema de Wick, ordenamiento y CFT

Desea tomar la derivada con respecto a z y w.

Llevar

$${X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)$$

y usa la siguiente derivada

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ {{X^\mu }\left( z \right){X^\nu }\left( w \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ {{X^\nu }\left( w \right){\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right)} \right] = {\partial \over {\partial z}}{X^\mu }\left( z \right){\partial \over {\partial w}}{X^\nu }\left( w \right)$$

Si hacemos lo mismo con la OPE...

$${{{\partial ^2}} \over {\partial w\partial z}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}\ln \left( {z - w} \right)} \right] = {\partial \over {\partial w}}\left[ { - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {z - w}}} \right] = - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Lo que nos da el resultado correcto.

$$\partial {X^\mu }\left( z \right)\partial {X^\nu }\left( w \right) \sim - {1 \over 4}{\eta ^{\mu \nu }}{1 \over {{{\left( {z - w} \right)}^2}}}$$

Este resultado se puede verificar usando las expansiones de modo relevantes. Véase ej. 3.1 BBS ST Y MT. http://www.nucleares.unam.mx/~alberto/apuntes/bbs.pdf

En lo que respecta al producto de los operadores ordenados normales ... EDITAR: vea la respuesta del usuario 2309840, mejor que lo que había escrito.

No hay nada que agregar a la primera parte de la respuesta de Jake Lebovic.

Con respecto a la segunda parte de la pregunta, cómo calcular el OPE de dos tensores de tensión, se usa el teorema de Wick. La ordenación normal significa que no se contraen juntos los campos individuales que componen el operador ordenado normal, en este caso los dos$\partial X$se está reconciliando$T(z)$. Por lo tanto, en el cálculo a continuación, uno ve que solo hay dos formas de contratar todo junto, pero cuatro formas de contratar solo dos de los$\partial X$operadores:

$$T(z) T(w) = \frac{1}{\alpha'^2} {:} \partial X^\mu \partial X_\mu (z) {:}\, {:} \partial X^\nu \partial X_\nu(w) {:}$$ $$\sim \frac{2}{\alpha'^2} ( - \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2)(-\partial_z \partial_w \eta^\nu_\mu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2 )$$ $$+ \frac{4}{\alpha'} (- \partial_z \partial_w \eta^\mu_\nu \frac{\alpha'}{2} \log |z-w|^2) {:} \partial X^\nu (z) \partial X_\mu(w) {:}$$ $$\sim \frac{\eta^\mu_\mu}{2} \frac{1}{(z-w)^4} - \frac{2}{\alpha'} \frac{1}{(z-w)^2} {:} \partial X^\mu(z) \partial X_\mu(w){:} + \ldots$$ $$\sim \frac{D}{2} \frac{1}{(z-w)^4} + \frac{2}{(z-w)^2} T(w) + \frac{1}{(z-w)} \partial T(w) + \ldots$$ La última línea aquí es la forma canónica de la OPE de dos tensores de tensión en una teoría de campo conforme en 2D. El $D$en el primer término es la carga central, a menudo denotada $c$, pero aquí igual al número de $X$campos. Los dos en el segundo término es la dimensión de escala del tensor de tensión.

OP última pregunta esencialmente lee (v1):

¿Cuál es el significado del producto de operadores de orden normal?

$$: \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): ~?$$

Estrictamente hablando, es un producto ordenado radialmente de operadores ordenados normalmente

$${\cal R} \left[ : \partial X(z) \partial X(z) : :\partial X(w) \partial X(w): \right].$$

Sin embargo, el orden radial${\cal R}$suele estar implícitamente implícito y no escrito explícitamente en los textos CFT. No obstante es importante. Sin ordenación radial (u otros tipos de ordenación, como, por ejemplo, ordenación por tiempo, ordenación normal, etc.) un producto de operador a menudo está mal definido. Las contracciones (y las contracciones dobles) que se realizan en este cálculo (cf. por ejemplo, la respuesta del usuario 2309840) están dictadas por los reordenamientos del orden radial${\cal R}$a la ordenación normal de acuerdo con una versión anidada del teorema de Wick . Esto se explica con más detalle en esta publicación de Phys.SE.