Calcule la carga central de la teoría de campos conformes bcbcbc

No necesitas usar eso. Simplemente puede hacer las contracciones cruzadas a mano. Vamos a hacer eso. Tenga en cuenta que solo me importa el$\frac{1}{z^4}$plazo para evaluar la carga central. Tenemos

$$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) & =\left( : \partial_z b c(z): - \lambda \partial_z : b c (z): \right) \left( : \partial_w b c(w): - \lambda \partial_w : b c (w): \right) \\ & = : (\partial_z b) c(z): : (\partial_w b) c(w): - \lambda \partial_z : b c (z): : (\partial_w b) c(w): \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- \lambda : (\partial_z b) c(z):\partial_w : b c (w): + \lambda^2 \partial_z : b c (z):\partial_w : b c (w): \end{split} \end{equation}$$ Ahora, en cada paso, solo mantenemos las contracciones completas para extraer la carga central. Luego encontramos $$\begin{equation} \begin{split} T(z) T(w) &\sim \partial_z \frac{1}{z-w}\partial_w \frac{1}{z-w} - \lambda \partial_z \left( \frac{1}{z-w} \partial_w \frac{1}{z-w} \right)\\ &~~~~~ - \lambda \partial_w \left( \frac{1}{z-w} \partial_z \frac{1}{z-w} \right) + \lambda^2 \partial_z \partial_w \frac{1}{(z-w)^2} \\ &= \frac{-6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 }{(z-w)^4} + \cdots \end{split} \end{equation}$$ Entonces podemos leer $$c = 2 \left( -6\lambda^2 + 6 \lambda - 1 \right) = - 3 (2 \lambda - 1 )^2 + 1$$

Sé que ha pasado mucho tiempo, pero tal vez pueda dar mi propia respuesta a su pregunta. Comience modificando ligeramente su relación de la siguiente manera

$$\begin{align} :\mathcal{F}::\mathcal{G}:= exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):\mathcal{FG}:. \end{align}$$ Antes de comprobar que esta fórmula realmente da los resultados correctos, fíjate que tiene que ser simétrica en b y c, ya que son variables de Grassmann. Las flechas sobre las derivadas funcionales son necesarias para obtener el resultado correcto y significan que hay que actuar a la izquierda/derecha del operador correspondiente. Veamos el siguiente caso trivial $$\begin{align} :b(z)::c(w):&=exp\left(\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\left[\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{G}}(z_2)}}+\overleftarrow{\frac{\delta}{\delta c_{\mathcal{F}}(z_1)}}\overrightarrow{\frac{\delta}{\delta b_{\mathcal{G}}(z_2)}}\right]\right):b(z)c(w): \\ &=:b(z)c(w):+\int d^2z_1d^2z_2\frac{1}{z_{12}}\delta^2(z_1,z)\delta^2(z_2,w)\\ &=:b(z)c(w):+\frac{1}{z-w}, \end{align}$$ que es exactamente (2.5.7) en el libro de Polchinski. Aquí el papel de las flechas fue inútil ya que$\mathcal{F}$y$\mathcal{G}$estaban hechos de un solo operador. Pasemos a un caso más complicado (y útil) $$\begin{align} :bc(z)::bc(w):&=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(z-w)^2}+\frac{1}{(z-w)^2}\right)\\ &=:bc(z)bc(w):+\frac{1}{z-w}:c(z)b(w):+\frac{1}{z-w}:b(z)c(w):+\frac{1}{(z-w)^2}. \end{align}$$ Aquí puede ver que el término más alto corresponde con lo que escribió @Prahar en su respuesta. Si realiza todo el cálculo de la OPE entre dos tensores de momento de energía (que hice y que es bastante largo), termina con la siguiente expresión $$\begin{align} T(z)T(w)=\frac{-12\lambda^2+12\lambda-2}{2(z-w)^4}+\frac{2T(w)}{(z-w)^2}+\frac{\partial T(w)}{z-w}, \end{align}$$ de donde se lee la carga central $$\begin{align} c=-12\lambda^2+12\lambda-2. \end{align}$$