Orden de mechas y orden radial en CFT

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Orden de mechas y orden radial en CFT

Física
operadores
teorema de la mecha
teoria de las cuerdas
teoría del campo conforme
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No estoy muy familiarizado con las herramientas de cálculo de la teoría del campo conforme, y me encuentro con un ejercicio que pide demostrar la siguiente fórmula (relacionada con el caso del campo bosónico):

R j (z_{1}) j (z_{2}) = \frac{1}{(z_{1} - z_{2})^{2}} + : j (z_{1}) j (z_{2}) :

$\cal{R}j(z_1)j(z_2)~=~\frac{1}{(z_1-z_2)^2}~+~:j(z_1)j(z_2):$

con $j$ definido como

j (z) = \sum_{k} α_{k} z^{- k - 1} .

$j(z)~=~\sum_k \alpha_k z^{-k-1}.$

Mi pregunta es ¿debo comenzar el cálculo desde el término ordenado de Wick y hacer que aparezcan los otros dos, porque comenzando desde el lado izquierdo, no veo cómo podría desarrollar algo de cálculo?

Respuestas (1)

Orden de mechas y orden radial en CFT

qmecanico · Answer 1

Aquí delinearemos una estrategia para probar la identidad del operador buscado $(4)$ de las siguientes definiciones de lo que es el conmutador y el orden normal de dos operadores de modo $\alpha_m$ y $\alpha_n$ significar:

\begin{matrix} (1) & [α_{metro}, α_{norte}] = ℏ metro d_{metro + norte}^{0}, \end{matrix}

$[\alpha_m, \alpha_n]~=~ \hbar m~\delta_{m+n}^0, \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} : α_{metro} α_{norte} : = & Θ (norte - metro) α_{metro} α_{norte} \\ + & Θ (metro - norte) α_{norte} α_{metro}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} :\alpha_m \alpha_n:~=~&\Theta(n-m) \alpha_m \alpha_n \cr~+~& \Theta(m-n) \alpha_n \alpha_m,\end{align}\tag{2}$

dónde $\Theta$ denote la función de paso de Heaviside .

Tenga en cuenta que la corriente $j(z)~=~j_{-}(z) + j_{+}(z)$ es una suma de una parte de la creación $j_{-}(z)$ y una parte de aniquilación $j_{+}(z)$ .
Recuerde que el orden radial ${\cal R}$ Se define como
$\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} R (j (z) j (w)) = & Θ (| z | - | w |) j (z) j (w) \\ + & Θ (| w | - | z |) j (w) j (z) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}{\cal R}(j(z)j(w)) ~=~&\Theta(|z|-|w|) j(z)j(w)\cr ~+~& \Theta(|w|-|z|)j(w)j(z).\end{align}\tag{3}$
Reescriba la identidad del operador buscado como
$\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} R (j (z) j (w)) - & : j (z) j (w) : \\ = & \frac{ℏ}{(z - w)^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&\frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align}\tag{4}$
Note que cada uno de los tres términos en la ec. $(4)$ son invariantes bajo $z\leftrightarrow w$ simetría. Así que podemos suponer a partir de ahora que $|z|<|w|$ .
Muestra esa
$\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} j (w) j (z) - & : j (z) j (w) : \\ = & [j_{+} (w), j_{-} (z)] . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}j(w)j(z)~-~&:j(z)j(w):\cr ~=~&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align}\tag{5}$
Mostrar (bajo el supuesto $|z|<|w|$ ) eso
$\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} j (w) j (z) - & R (j (z) j (w)) \\ \overset{| z | < | w |}{=} & 0. \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align}j(w)j(z)~-~~&R(j(z)j(w))\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&0.\end{align}\tag{6}$
Reste la ecuación. (6) de la ec. (5):

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} R (j (z) j (w)) - & : j (z) j (w) : \\ \overset{| z | < | w |}{=} & [j_{+} (w), j_{-} (z)] . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\cal{R}(j(z)j(w))~-~~&:j(z)j(w):\cr ~\stackrel{|z|<|w|}{=}&[j_{+}(w),j_{-}(z)].\end{align} \tag{7}$

Evaluar rhs. de la ec. (7):

\begin{matrix} (8) & \begin{aligned} [j_{+} (w), j_{-} (z)] = & \dots \\ = & \frac{ℏ}{w^{2}} \sum_{norte = 1}^{\infty} norte {(\frac{z}{w})}^{norte - 1} \\ = & \dots = \frac{ℏ}{(z - w)^{2}} . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} [j_{+}(w),j_{-}(z)]~=~&\ldots\cr ~=~&\frac{\hbar}{w^2} \sum_{n=1}^{\infty}n \left(\frac{z}{w}\right)^{n-1}\cr ~=~&\ldots ~=~ \frac{\hbar}{(z-w)^2}.\end{align} \tag{8}$ En el último paso usaremos que la suma es convergente bajo el supuesto

| z | < | w |

$|z|<|w|$ .

◻

$\Box$

Muchas gracias, Qmechanic, aún no he realizado todos los pasos que me indicas en detalle, pero tengo claro que esto es solo una extensión del teorema tradicional de Wick en QFT, para la función de 2 puntos: $T(\phi_{x_1}\phi_{x_2}) = :\phi_{x_1}\phi_{x_2}: + [\phi_{x_1},\phi_{x_2}]$ Lo siento, no fue obvio para mí antes, ahora volveré a hacer los cálculos en detalle, tratando de familiarizarme mejor esta vez. Gracias de nuevo ;)
Sí, el método es similar a, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

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