Relaciones de conmutación de operadores de Virasoro [cerrado]

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$$\boxed{\left<0,0|\left[L_n,L_{-n}\right]|0,0\right>=<0,0|n^2L_0+\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>=<0,0|\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left|0,0\right>= \frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)\left<0,0|0,0\right> = \frac{D}{12}n(n^2-1).}$$

¿Por qué desaparece el primer término?

Para ver eso$\left<0,0|n^2L_0|0,0\right> =0$uno puede usar la relación del conmutador de álgebra y escribir

$$2 L_0 |0,0 \rangle = (L_1 L_{-1} - L_{-1} L_1) |0,0\rangle =0$$ como se hace en Polchinski, p 59. La expresión es cero, porque el $L_{\pm 1}$se puede ver como ordenado normal $$L_n=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} : \alpha_{n} \alpha_{-n} :$$ con todos los operadores de aniquilación a la derecha destruyendo el $|0,0 \rangle$.

Por que es$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)$?

Descompongamos la suma en 2 términos

$$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m) = \frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m -\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2$$ La primera suma se puede identificar con una serie finita conocida $\sum_{k=1}^l k =\frac{l(l+1)}{2}$donación $$\frac{D}{2} n \sum_{m=1}^{n-1}m = \frac{D}{2}n\frac{(n-1)n}{2}.$$ La segunda suma se puede identificar con otra serie finita de la misma lista $\sum_{k=1}^l k^2 = \frac{l(l+1)(2l+1)}{6}$donación $$\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m^2= \frac{D}{2} \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.$$ Restando la segunda suma de la primera se llega al resultado deseado $$\boxed{\frac{D}{2}\sum_{m=1}^{n-1}m(n-m)=\frac{D}{12}n(n^2-1)}.$$