Expansión del producto del operador que involucra derivados

Tengo preguntas sobre la ecuación (2.2.4) en Polchinski Vol 1:

(2.2.4) X m ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) = − α ′ 2 η m v en ⁡ | z 12 | 2 + ∑ k = 1 ∞ 1 k ! [ ( z 12 ) k : X v ∂ k X m ( z 2 , z ¯ 2 ) : + ( z ¯ 12 ) k : X v ∂ ¯ k X m ( z 2 , z ¯ 2 ) : ] .

Aquí z 12 = z 1 − z 2 , y :: significa orden normal:

(2.1.21b) : X m ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) := X m ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) + α ′ 2 η m v en ⁡ | z 12 | 2 .

Ahora, ¿cómo podemos acomodar la cadena de orden normal?

: X v ∂ k X m ( z 2 , z ¯ 2 ) :
en la definición anterior? Puedo imaginar que hay al menos dos complicaciones:

  1. una derivada está involucrada, y

  2. el producto producto ahora está en un solo punto ( z 2 , z ¯ 2 ) , ¿dónde estaría el término logarítmico en ⁡ | z 12 | 2 ¿ir?

Respuestas (1)

  1. En primer lugar, cabe destacar que el lhs. de la ec. (2.2.4) y los primeros términos de la derecha. de la ec. (2.1.21b) están ordenadas radialmente, es decir, hay un símbolo de orden radial escrito implícitamente R en estas ecuaciones

  2. ecuación (2.1.21b) es la definición del orden normal conforme en términos del orden radial.

  3. Se supone que el término normal ordenado

    : X m ( z 1 , z ¯ 1 ) X v ( z 2 , z ¯ 2 ) :   =   ∑ k = 1 ∞ 1 k ! [ ( z 12 ) k : X v ∂ k X m ( z 2 , z ¯ 2 ) :   +   ( z ¯ 12 ) k : X v ∂ ¯ k X m ( z 2 , z ¯ 2 ) : ]
    es analítico . El rhs. es simplemente una notación definitoria para estos coeficientes de Taylor.

  4. Tenga en cuenta que Polchinski opera con varias nociones de ordenamiento normal, cf. pag. 59-60. Resulta que el ordenamiento normal conforme y el ordenamiento normal de creación/aniquilación concuerdan en el sector de la materia (pero no en el fantasma) de la cuerda.

  5. Recuerda que la cadena X ( z , z ¯ ) es una expansión de Fourier en los modos de creación/aniquilación/oscilador α norte , α ~ metro , etc. Si el pedido normal :   : es el ordenamiento normal de creación/aniquilación, es decir, con los operadores de creación (aniquilación) ordenados a la izquierda (derecha), respectivamente, luego el ordenamiento normal :   : es independiente de las coordenadas de la hoja mundial (WS) y, en principio, podríamos calcular todos los coeficientes en la expansión de Taylor (2.2.4) en términos de modos de creación y aniquilación.

Asumo que todos estos conceptos se elaborarán en secciones posteriores del Vol. 1. Sin embargo, la ecuación (2.2.11) implica tratar con el orden normal de las derivadas. ¿Cómo surgen la tercera línea y la cuarta línea (derivadas de log)?
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