Operador de vértice y ordenamiento normal

I) Recordar primero el$\phi\phi$- Expansión de Producto Operador ( OPE ):

$$\tag{A} {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w}): ~=~C(z,\bar{z};w,\bar{w}) ~{\bf 1},$$

donde se supone que la contracción es$c$-número:

$$\tag{B} C(z,\bar{z};w,\bar{w})~=~ \langle 0 | {\cal R}\left\{\phi(z,\bar{z})\phi(w,\bar{w})\right\} |0\rangle ~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{2\pi}\ln\frac{|z-w|^2+a^2}{(2R)^2},$$ cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Además del corte IR $R>0$, hemos añadido un regulador UV $a>0$en la contracción (B). Por lo tanto, en un punto de la hoja del mundo coincidente, la contracción sigue siendo finita

$$\tag{C} C(z,\bar{z};z,\bar{z})~=~ -\frac{\alpha^{\prime}}{\pi}\ln\frac{a}{2R}.$$

II) El${\cal R}$símbolo en las ecs. (A)-(B) denota ordenación radial. Tenga en cuenta que muchos autores no escriben el símbolo de ordenación radial${\cal R}$explícitamente, cf. por ejemplo, la ecuación de OP. (1). A menudo solo está implícitamente implícito en la notación. orden radial${\cal R}$tiene una interpretación como ordenamiento temporal, y es necesario para tomar contacto con el operador pertinente, formalismo y funciones de correlación. Tenga en cuenta en particular que el exponencial en OP's eq. (2) se puede escribir con orden radial

$$\tag{D} {\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\}.$$

III) A continuación usamos el teorema de Wick entre el ordenamiento radial y normal:

$$\tag{E} {\cal R}\left\{{\cal F}[\phi]\right\} ~=~ \exp \left(\frac{1}{2} \int\! d^2z~d^2w~ C(z,\bar{z};w,\bar{w})\frac{\delta}{\delta\phi(z,\bar{z})} \frac{\delta}{\delta\phi(w,\bar{w})} \right) :{\cal F}[\phi]:,$$

cf. por ejemplo, ref. 1 y mi respuesta Phys.SE aquí . Aquí${\cal F}[\phi]$denota un funcional arbitrario del campo$\phi$.

Para la exponencial (D), el teorema de Wick (E) se convierte en

$${\cal R}\left\{ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\right\} ~\stackrel{(E)}{=}~\exp \left(\frac{(ik)^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}:$$ $$\tag{F}~\stackrel{(C)}{=}~ \exp \left(\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) :e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~=~\left(\frac{a}{2R}\right)^{\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}} :e^{ik\phi(z,\bar{z})},$$

que es la fórmula buscada por OP (2).

IV) Alternativamente, suponga que el campo

$$\tag{G} \phi(z,\bar{z})~=~\varphi(z,\bar{z}) + \varphi(z,\bar{z})^{\dagger}, \qquad \varphi(z,\bar{z})|0\rangle~=~0,$$ puede escribirse como la suma de una parte de aniquilación y una de creación. Luego, el OPE (A) regularizado por UV se convierte en

$$[\varphi(z,\bar{z}),\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}] ~\stackrel{(G)}{=}~\phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}) ~-~: \phi(z,\bar{z})\phi(z,\bar{z}):$$ $$\tag{H} ~\stackrel{(A)}{=}~C(z,\bar{z};z,\bar{z}) ~{\bf 1}.$$

Además, el operador de vértice se convierte en

$$:e^{ik\phi(z,\bar{z})}: ~\stackrel{(G)}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}}e^{ik\varphi(z,\bar{z})} ~\stackrel{\text{BCH}}{=}~e^{ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger}+ik\varphi(z,\bar{z})+\frac{1}{2}[ik\varphi(z,\bar{z})^{\dagger},ik\varphi(z,\bar{z})]}$$ $$\tag{I}~\stackrel{(H)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}e^{\frac{k^2}{2}C(z,\bar{z};z,\bar{z})}~\stackrel{(C)}{=}~ e^{ik\phi(z,\bar{z})}\exp \left(-\frac{\alpha^{\prime}k^2}{2\pi}\ln\frac{a}{2R}\right) ,$$

lo que nuevamente conduce a la fórmula (2) buscada por OP. En la ec. (I) hemos utilizado la fórmula BCH truncada , consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Referencias:

1. J. Polchinski, Teoría de cuerdas, vol. 1; pag. 39, ec. (2.2.7).

Aquí

$\begin{equation} \langle ik\phi(x)ik\phi(x)\rangle = \frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R), \end{equation}$

dónde$a$es un corte UV.

Ahora podemos escribir (como todos los$\phi$están ubicados en$x$es decir, Radial ordenado$\{\phi^n(x)\}=\phi^{n}(x)~$)

$\begin{align} \{ik\phi\}^{n}(x) ~&=~ :\{ik\phi\}^n(x): +\sum_{\text{all contractions}} \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x): + ~ ^nC_2 \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+\frac{^nC_2~ ^{n-2}C_2}{2} \left(\frac{\alpha'k^2}{\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2:\{ik\phi\}^{n-4}(x): +\cdots \\ &=~ :\{ik\phi\}^n(x):+n(n-1) \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) :\{ik\phi\}^{n-2}(x):+ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!} \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 :\{ik\phi\}^{n-4}(x):+\cdots \end{align}$

Expandimos el operador de vértice,

$\begin{align} \text{e}^{ik\phi(x)} &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(ik\phi)^n(x)}{n!} \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} + \left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)\sum_{n=2}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-2}(x):}{(n-2)!} +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2\sum_{n=4}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^{n-4}(x):}{(n-4)!} +\cdots \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{:\{ik\phi\}^n(x):}{n!} \left[1+\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right) +\frac{1}{2!}\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)^2 +\cdots \right] \\ &=~ :\text{e}^{ik\phi(x)}: \text{e}^{\left(\frac{\alpha'k^2}{2\pi} \text{ln}(a/2R)\right)}. \end{align}$

QED