Verificación de una solución a las ecuaciones del campo de vacío de Einstein

El elemento de línea en términos de la métrica$g_{\mu\nu}$es dado por,

$$ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$$

Como no ha proporcionado el elemento de línea completo en la publicación, solo puedo decir$g_{tt} =a$y$g_{rr}=b$. Si es el caso que$a,b$son constantes, así como cualquier otro componente de la métrica, entonces trivialmente$R_{\mu\nu}=R=0$.

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De lo contrario, tendrás que calcular el tensor de Ricci.$R_{ab}$directamente. Sin embargo, existe un método mucho más rápido que usar símbolos de Christoffel que se llama formalismo de Cartan . Lo he resumido en otras respuestas, ver:

• Algunos consejos para casos especiales de tensor métrico en GR
• Cálculo del tensor de Riemann para 3 esferas
• Curvatura de Ricci 5D

Muy rápido: eliges una base ortonormal$e^a_\mu$tal que$\eta_{ab}e^a_\mu e^b_\nu = g_{\mu\nu}$, y puede leer los componentes de conexión$\omega^a_b$de$de^a + \omega^a_b \wedge e^b = 0$. La curvatura de 2 formas es$R=d\omega^a_b + \omega^a_c \wedge \omega^c_b$.

Además, recomiendo la conferencia de Ruth Gregory en perimetralscholars.org que brinda una introducción al método y preliminares que presentan formas diferenciales si no está familiarizado con ellas.

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Si te dan una métrica$g_{\mu\nu}$, y cambia las coordenadas, sigues describiendo la misma variedad; la relatividad general es invariante bajo difeomorfismos.