Componentes distintos de cero del tensor de Riemann para la métrica de Schwarzschild

De acuerdo con Mathematica, y suponiendo que no cometí ningún error tonto al escribir la métrica, obtengo los componentes distintos de cero de$R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$ser:

{1, 2, 1, 2} -> (2 G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{1, 2, 2, 1} -> -((2 G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r))),
{1, 3, 1, 3} -> -((G M)/(c^2 r)),
{1, 3, 3, 1} -> (G M)/(c^2 r),
{1, 4, 1, 4} -> -((G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{1, 4, 4, 1} -> (G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{2, 1, 1, 2} -> (2 G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{2, 1, 2, 1} -> -((2 G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4)),
{2, 3, 2, 3} -> -((G M)/(c^2 r)),
{2, 3, 3, 2} -> (G M)/(c^2 r),
{2, 4, 2, 4} -> -((G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{2, 4, 4, 2} -> (G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{3, 1, 1, 3} -> (G M (2 G M - c^2 r))/(c^4 r^4),
{3, 1, 3, 1} -> (G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{3, 2, 2, 3} -> (G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{3, 2, 3, 2} -> (G M)/(r^2 (2 G M - c^2 r)),
{3, 4, 3, 4} -> (2 G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r),
{3, 4, 4, 3} -> -((2 G M Sin[\[Theta]]^2)/(c^2 r)),
{4, 1, 1, 4} -> (G M (2 G M - c^2 r))/(c^4 r^4),
{4, 1, 4, 1} -> (G M (-2 G M + c^2 r))/(c^4 r^4),
{4, 2, 2, 4} -> (G M)/(r^2 (-2 G M + c^2 r)),
{4, 2, 4, 2} -> (G M)/(r^2 (2 G M - c^2 r)),
{4, 3, 3, 4} -> -((2 G M)/(c^2 r)),
{4, 3, 4, 3} -> (2 G M)/(c^2 r),

La respuesta dada por @John Rennie es correcta. Pero tal vez una nota sobre cómo se puede calcular el Riemann de la manera más eficiente (a mano o con álgebra computarizada). Para calcularlo rápido es conveniente calcular primero$R_{abcd}$porque tiene la mayor cantidad de simetrías:

• simetría torcida$R_{abcd}=-R_{bacd}=-R_{abdc}=R_{badc}$
• simetría de intercambio$R_{abcd}=R_{cdab}$

Esto significa que en cuatro dimensiones uno tiene solo 21 componentes independientes para calcular: Esos pueden escribirse en un$6\times6$matriz simétrica con respecto a tuplas de pares de índices antisimétricos$\left\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)\right\}$. Para la métrica de Schwarzschild, esta matriz se ve así:

Entonces, solo hay 6 componentes independientes que no desaparecen de$R_{abcd}$para la métrica de Schwarzschild. A partir de ellos se pueden construir los restantes dependientes.

En el caso especial de la métrica de Schwarzschild, la simetría de intercambio no da nuevos componentes que no desaparezcan, ya que la matriz de tuplas es diagonal. Esto deja una simetría torcida para los seis componentes diagonales, lo que conduce a tres nuevos componentes que no desaparecen por componente diagonal. entonces en total$6\times4=24$componentes que no desaparecen de$R^{a}{}_{bcd}$.

Para llegar a$R^{a}{}_{bcd}$uno necesita elevar el primer índice con la métrica inversa, que en el presente caso es simplemente multiplicar$R_{abcd}$con$g^{aa}=1/g_{aa}$, desde$g_{ab}$es simétrico

John Rennie les dio a esos 24 componentes que no desaparecen de$R^{a}{}_{bcd}$.

Un último comentario sobre esos 21 componentes independientes en cuatro dimensiones: si se considera la primera identidad de Bianchi, se baja a 20 componentes independientes en cuatro dimensiones para$R_{abcd}$. Así que aún queda algo de computación por hacer, pero 21 o 20 es mejor que 256.

Los componentes distintos de cero del tensor de Riemann de la métrica de Schwarzschild son:

$$\begin{array}{lcl} \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, r \, t \, r }^{ \, t \phantom{\, r} \phantom{\, t} \phantom{\, r} } & = & \frac{2 \, {G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, r \, r \, t }^{ \, t \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, t} } & = & -\frac{2 \, {G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\theta} \, t \, {\theta} }^{ \, t \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\theta} \, {\theta} \, t }^{ \, t \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\phi} \, t \, {\phi} }^{ \, t \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, t} \, {\phi} \, {\phi} \, t }^{ \, t \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, t \, t \, r }^{ \, r \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, r} } & = & \frac{2 \, {\left({G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}\right)}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, t \, r \, t }^{ \, r \phantom{\, t} \phantom{\, r} \phantom{\, t} } & = & -\frac{2 \, {\left({G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}\right)}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\theta} \, r \, {\theta} }^{ \, r \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\theta} \, {\theta} \, r }^{ \, r \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\phi} \, r \, {\phi} }^{ \, r \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, r} \, {\phi} \, {\phi} \, r }^{ \, r \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} } & = & \frac{{G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, t \, t \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, t \, {\theta} \, t }^{ \, {\theta} \phantom{\, t} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, r \, r \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, r \, {\theta} \, r }^{ \, {\theta} \phantom{\, r} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, r} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, {\phi} \, {\theta} \, {\phi} }^{ \, {\theta} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} } & = & \frac{2 \, {G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\theta}} \, {\phi} \, {\phi} \, {\theta} }^{ \, {\theta} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} } & = & -\frac{2 \, {G} m \sin\left({\theta}\right)^{2}}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, t \, t \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, t} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, t \, {\phi} \, t }^{ \, {\phi} \phantom{\, t} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, t} } & = & \frac{{G} c^{2} m r - 2 \, {G}^{2} m^{2}}{c^{4} r^{4}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, r \, r \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, r} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} } & = & \frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, r \, {\phi} \, r }^{ \, {\phi} \phantom{\, r} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, r} } & = & -\frac{{G} m}{c^{2} r^{3} - 2 \, {G} m r^{2}} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, {\theta} \, {\theta} \, {\phi} }^{ \, {\phi} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} } & = & -\frac{2 \, {G} m}{c^{2} r} \\ \mathrm{R}_{ \phantom{\, {\phi}} \, {\theta} \, {\phi} \, {\theta} }^{ \, {\phi} \phantom{\, {\theta}} \phantom{\, {\phi}} \phantom{\, {\theta}} } & = & \frac{2 \, {G} m}{c^{2} r} \end{array}$$