Demostración de una identidad para una forma especial del tensor de Riemann

Tengo un problema con la tarea. Dado que el tensor de Riemann es

R a b C d = gramo a C S b d + gramo b d S a C − gramo a d S b C − gramo b C S a d
tengo que mostrar eso
Para   norte > 3   ,   S a b ; C = S a C ; b

Usé la segunda identidad de Bianchi. R a b [ C d ; mi ] = 0 Llegar

gramo a C ( S b d ; mi − S b mi ; d ) + gramo a d ( S b mi ; C − S b C ; mi ) + gramo a mi ( S b C ; d − S b d ; C ) + gramo b C ( S a mi ; d − S a d ; mi ) + gramo b d ( S a C ; mi − S a mi ; C ) + gramo b mi ( S a d ; C − S a C ; d ) = 0

Ahora contrato ambos lados con gramo a C Llegar

( norte − 3 ) ( S b d ; mi − S b mi ; d ) + gramo a C gramo b d ( S a C ; mi − S a mi ; C ) + gramo a C gramo b mi ( S a d ; C − S a C ; d ) = 0

Solo si supiera cómo manejar el segundo y el tercer término, este problema se resolvería. Porque para norte = 2 , hay otra identidad dada en una parte anterior que hace que el LHS sea trivialmente 0.

Necesito ayuda para argumentar que los tres términos tienen que ser cero individualmente y luego norte ≠ 3 , que completará la prueba.

Respuestas (2)

Contrato con gramo b d . Eso probará gramo a C ( S a d ; C − S a C ; d ) = 0 , por lo que puede establecer el segundo y tercer término en cero.

¿Te diste cuenta de esto ahora, o sabes si esta pregunta es de un libro? Me gustaría tener ese libro para practicar, si es que existe.
Lo descubrí leyendo tu pregunta, lo siento.

Tienen tres índices de tarifas b , d , mi contrato con gramo b d nos dejará solo un índice que sea más fácil de manejar

( norte − 3 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) + gramo a C gramo b d gramo b d ( S a C ; mi − S a mi ; C ) + gramo a C gramo b mi gramo b d ( S a d ; C − S a C ; d ) = 0 , ⟶ ( norte − 3 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) + gramo a C norte ( S a C ; mi − S a mi ; C ) + gramo a C d mi d ( S a d ; C − S a C ; d ) = 0 , ( norte − 3 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) + gramo a C norte ( S a C ; mi − S a mi ; C ) + gramo a C ( S a mi ; C − S a C ; mi ) = 0 , ( ( norte − 3 ) + norte − 1 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) = 0 , ( 2 norte − 4 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) = 0 , ( norte − 2 ) gramo b d ( S b d ; mi − S b mi ; d ) = 0 .
En general gramo b d ≠ 0 , así que para norte > 3 tenemos S b d ; mi = S b mi ; d .

Parece que copiaste mi respuesta pero malinterpretaste el paso final. No puedes simplemente dividir gramo b d porque está contrayendo algo. Pero luego puedes volver a la ecuación anterior y deshacerte del segundo y tercer término.
Sí, lo siento, pero estoy flojo ahora. Te di la mitad de los créditos pero ahora estoy flojo. Lo siento de nuevo.
Demostración de una identidad para una forma especial del tensor de Riemann
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v