Volumen de un Universo con k=+1k=+1k=+1

En coordenadas esféricas, la parte espacial de la métrica tiene la forma

$$\text{d}\sigma^2 = a^2\left(\frac{\text{d}r^2}{1-kr^2} + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right).$$ Puedes derivar esto usando $$\begin{align} \boldsymbol{x}^2 &= r^2,\\ \text{d}\boldsymbol{x}^2 &= \text{d}r^2 + r^2\text{d}\theta^2 + r^2\sin^2\theta\text{d}\varphi^2,\\ \boldsymbol{x}\cdot \text{d}\boldsymbol{x} &= r\text{d}r. \end{align}$$ Si $k=1$, podemos usar la sustitución $r=\sin\chi$para reescribir esto como $$\text{d}\sigma^2 = g_{ij}\text{d}x^i \text{d}x^j = a^2\left(\text{d}\chi^2 + \sin^2\chi\text{d}\theta^2 + \sin^2\chi\sin^2\theta\text{d}\varphi^2\right),$$ con $(x^1,x^2,x^3) = (\chi,\theta,\varphi)$. Esta es la métrica de 3 esferas, expresada en coordenadas hiperesféricas . El volumen total de una 3 esferas es $$V = \int_{S^3}\sqrt{|\det g|}\,\text{d}\chi\text{d}\theta\text{d}\varphi = a^3\int_0^\pi\sin^2\chi\text{d}\chi\int_0^{\pi}\sin\theta\text{d}\theta\int_0^{2\pi}\text{d}\varphi = 2\pi^2a^3.$$

Muchas gracias Sr. Pulsar por su detallada y precisa explicación. Mientras esperaba una respuesta, se me ocurrió consultar la entrada de n-sphere de Wikipedia. Allí, he observado que la expresión para el límite de n-bolas es:

$$S_{n-1} = \frac{2 \pi^{\frac n 2}}{\Gamma \left (\frac n 2 \right )} \, R^{n-1}$$

Expresión que, particularizada en n=4, R=a, coincide con

$$2 \pi^2 a^3$$

Pensé que explicarlo aquí podría ser útil para otros que consulten este tema. Pero prefiero tu demostración, gracias de nuevo y un saludo.