Espacio de Rindler y tensores

¿Cómo podemos ver inmediatamente que el tensor de Riemann y el tensor de Ricci en el espacio de Rindler son cero?

Sé que la métrica de Rindler está dada por:

− d s 2 = − a 2 X 2 d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2

y lo que acabo de hacer fue calcular los tensores de Christoffels y luego los de Riemann y Ricci según la definición habitual, dándome cero.

Sin embargo, se supone que ves inmediatamente que desaparecen. ¿Por qué?

Debo admitir que cuando me enfrenté a esto hice exactamente lo mismo que tú.
@JohnRennie Sí, pero supuestamente hay una forma de ver esto sin hacer cálculos.
Las coordenadas de Rindler son solo un conjunto de coordenadas para describir el espacio de Minkowski. Dado que el espacio de Minkowski es plano, sus tensores de curvatura desaparecen en todos los sistemas de coordenadas.
De hecho, esta es la razón obvia por la que las curvaturas desaparecen en el espacio de Rindler: es solo una parte del espacio de Minkowski y las curvaturas son tensores. Pensé que el OP quería una respuesta diferente, digamos más directa.

Respuestas (1)

Es más obvio si está familiarizado con el formalismo de tétrada. A partir de la métrica proporcionada, podemos definir una base ortonormal simplemente leyendo, mi ( t ) = a X d t y mi ( i ) = d X i .

Ahora todo d mi ( i ) = 0 , y d mi ( t ) = − a d t ∧ d X = − 1 X mi ( t ) ∧ mi ( X ) lo que significa que la única conexión distinta de cero es ω X t = − a d t que es una constante y por lo tanto R = d ω + ω ∧ ω = 0 .

Es fácil concluir que cualquier función de una sola variable reemplaza a 2 X 2 conducirá a la desaparición de la curvatura.

¿Podría haber también una manera sin usar este formalismo de tétrada? No lo he visto antes y no es parte del material que estoy cubriendo.
la notación mi t parece que estás usando la función exponencial (al menos a mí, a primera vista). Tal vez mi t sería mejor, o mi ( t ) ...
Con respecto a la comprensión "inmediata": creo que es porque la métrica es cónica y todos sabemos que los conos son planos (espere en el punto).
@JEB Eso suena bastante bien, ¿por qué exactamente Rindler es cónico?
@Danu estuvo de acuerdo en que puede parecer extraño; mi t sin embargo, no encaja del todo como lo es el vielbein mi m a y el índice ortonormal en la parte inferior tiene un significado diferente. iré con mi ( t ) .
@Alan Youngson: Fue una corazonada, así que busqué un cono y obtuve d s 2 = X 2 d y 2 + d X 2 , que parece una versión euclidiana 2D de la métrica de Rindler.
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