Cálculo del tensor de Ricci para un espacio-tiempo esféricamente simétrico

Question

Cálculo del tensor de Ricci para un espacio-tiempo esféricamente simétrico

Antonio

Para una pregunta de tarea, se nos da la métrica

d s^{2} = d t^{2} - \frac{2 metro}{F} d r^{2} - F^{2} d Ω^{2},

$ds^2=dt^2-\frac{2m}{F}dr^2-F^2d\Omega^2\ ,$ donde F es una función desagradable de

r

$r$ y

t

$t$ . Se nos pide que mostremos que esto satisface las ecuaciones de campo.

Sé exactamente cómo proceder con este cálculo, pero el álgebra es tan molesto y es tan probable que cometa errores que me preguntaba si había alguna manera de obtener el tensor de Ricci a partir de un espacio-tiempo esféricamente simétrico sin hacer un montón de cosas sin sentido. ¿cálculo? Por ejemplo, nuestro profesor ha publicado tales fórmulas para un tensor de Riemann:

R_{2323} = \frac{{pecado}^{2} θ}{4 a b} (C_{r}^{2} a - C_{t}^{2} b - 4 a b C)

$R_{2323}=\frac{\sin^2{\theta}}{4ab}(c^2_{r}a-c^2_{t}b-4abc)$ donde los subíndices denotan diferenciación parcial y la métrica tiene la forma

d s^{2} = a (r, t) d t^{2} - b (r, t) d r^{2} - C (r, t) d Ω^{2} .

$ds^2=a(r,t)dt^2-b(r,t)dr^2-c(r,t)d\Omega^2\ .$ ¿Hay algún recurso que muestre cómo pasar ahora del tensor de Riemann al tensor de Ricci? O mejor aún, ¿fórmulas que dan el tensor de Ricci directamente para una métrica general esféricamente simétrica?

prahar

Este enlace puede ser de ayuda: arxiv.org/abs/gr-qc/9602015

jamals

No tengo tiempo para hacerlo manualmente, pero calculé el tensor de Ricci y el escalar usando Mathematica, y ambos son distintos de cero para un genérico

F (r, t)

$F(r,t)$ , por lo que, en general, no es una solución para las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío.

jamals

Si está familiarizado con las formas diferenciales de la geometría diferencial, le recomiendo encarecidamente el método de Cartan: es mucho más rápido que hacer todo el cálculo directamente.

Antonio

@Prahar ¡Gracias por el enlace! Este es exactamente el tipo de cosa que estaba buscando.

Antonio

@JamalS No he visto el método Cartan antes, pero lo busqué y creo que definitivamente vale la pena aprenderlo.

Respuestas (1)

Cálculo del tensor de Ricci para un espacio-tiempo esféricamente simétrico

No tengo tiempo para hacerlo manualmente, pero calculé el tensor de Ricci y el escalar usando Mathematica, y ambos son distintos de cero para un genérico $F(r,t)$ , por lo que, en general, no es una solución para las ecuaciones de campo de Einstein en el vacío.
Si está familiarizado con las formas diferenciales de la geometría diferencial, le recomiendo encarecidamente el método de Cartan: es mucho más rápido que hacer todo el cálculo directamente.
@Prahar ¡Gracias por el enlace! Este es exactamente el tipo de cosa que estaba buscando.
@JamalS No he visto el método Cartan antes, pero lo busqué y creo que definitivamente vale la pena aprenderlo.

jamals · Answer 1

Considero que la métrica en la pregunta significa explícitamente,

d s^{2} = d t^{2} - \frac{2 metro}{F (t, r)} d r^{2} - F (t, r)^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}) .

$ds^2 = dt^2 - \frac{2m}{F(t,r)}dr^2-F(t,r)^2 \left( d\theta^2 + \sin^2 \theta\, d\phi^2\right).$

Calculando la curvatura tediosamente, uno encuentra el tensor de Einstein $G_{ab}=R_{ab}-\frac12 g_{ab}R$ tiene ocho componentes que no desaparecen. Por ejemplo, a partir de las ecuaciones de campo, uno encuentra,

T_{00} = \frac{metro - F (t, r) F_{r} (t, r)^{2} - F (t, r)^{2} F_{r r} (t, r)}{8 π GRAMO metro F (t, r)^{2}} .

$T_{00} = \frac{m - F(t,r)F_r(t,r)^2 - F(t,r)^2 F_{rr}(t,r)}{8\pi G m \, F(t,r)^2}.$

Si uno quiere que la métrica satisfaga las ecuaciones del campo de vacío , puede resolver explícitamente $T_{00}=0$ , pero existen otras limitaciones $F(t,r)$ del resto de los componentes de $T_{ab}$ - Aún no he podido probar explícitamente si este sistema se puede resolver para producir un $F(t,r)$ para el cual la métrica es una solución de vacío.

Sin embargo, degradar $F(t,r)$ a $F(r)$ para hacer el sistema algo más simple, ciertamente hay una opción de $F(r)$ para el cual la métrica es una solución de vacío, por ejemplo

F (r) = {[\frac{3}{2} (\pm \sqrt{2 metro} r + C)]}^{2 / 3}

$F(r) = \left[ \frac32 \left( \pm \sqrt{2m}r + c\right)\right]^{2/3}$

para $c\in\mathbb R$ , lo que ciertamente me hace sospechar que hay dependientes del tiempo $F(t,r)$ para lo cual la métrica es también una solución de vacío.

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jamals

¿Por qué una métrica plana implica coordenadas?

Es (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\parcial^2}{\parcial t^2}+\nabla^2\ right)\phi=0 igual que ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left( g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \parcial_\nu\phi\right)=0?

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