¿Cómo probar que el tensor de Weyl cero no predice ninguna desviación de la luz?

En el sistema solar, solo hay un campo gravitatorio débil fuera del sol. Entonces, para fines prácticos, puede expandir la métrica al primer orden en$\epsilon$(y supongo que por qué tener este parámetro en la definición),

$$g_{\mu\nu} = e^{-\Phi }\eta_{\mu\nu} = e^{-\epsilon\phi} \eta_{\mu\nu} \approx -(1-\epsilon\phi) dt^2 + (1-\epsilon\phi ) (dx^2 +dy^2 + dz^2 )$$ Observe que la parte espacial de la métrica de perturbación tiene el lado opuesto a la teoría linealizada de Einstein. Es exactamente por eso que no tienes flexión ligera. Es un buen ejercicio, ya que la derivación es completamente paralela a la teoría linealizada habitual, véase, por ejemplo, MTW, ejercicio 18.6.

Sin embargo, el resultado es cierto incluso más allá del orden lineal. Sabes que la ecuación de movimiento del fotón es la ecuación geodésica,

$$\nabla_p p = 0$$

donde impulso$p$es el vector tangente de la curva geodésica y para el fotón es un vector nulo. en componentes,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^{\mu} p^\nu \partial_{\nu} \Phi = 0$$ donde he usado la forma explícita de conexión y $p^{\mu}p_{\mu} =0$(por favor verifíquelo).

Esta ecuación se puede integrar,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^\mu \frac{d}{d\tau} \Phi = e^{\Phi} \frac{d}{d\tau}(e^{-\Phi} p^\mu) = 0$$ entonces $e^{-\Phi}p^\mu$es una constante sola la geodésica.

Siguiendo el procedimiento estándar, comparamos 4-momentos en emisión y recepción; en ambos casos, el fotón está muy lejos de la estrella en el centro, y por lo tanto$\Phi \sim 0$. Por lo tanto, podemos concluir que el impulso 4 no cambia en el espacio plano asintótico, es decir, no hay flexión ligera.

Puedes leer el ejercicio 7.1 de MTW. Ese es un problema que comienza con la acción de un campo gravitatorio escalar (teoría de Nordstorm), y también hay algunos consejos y comentarios útiles en el texto.

Agregado : Las cantidades conservadas se deben a los cuatro vectores de matanza conformes :$\partial_{\mu}$.

$$\mathcal{L}_{\partial_\mu} g = -\partial_{\mu}\Phi g$$ Dejar $\xi= \partial_\mu$, entonces $g(p,\xi)= p^\nu \xi_\nu$es una cantidad conservada. Eso es porque $$\nabla_p g(p,\xi) =(\nabla_p g)( p, \xi ) +g( \nabla_p p, \xi) + g(p, \nabla_p \xi ) = g(p, \nabla_p \xi )\\= g(p, [p,\xi] ) + g(p, \nabla_{\xi} p ) = - g( p, \mathcal{L}_{\xi} p ) + \frac{1}{2} \nabla_{\xi}g(p,p ) \\= -\frac{1}{2} \mathcal{L}_{\xi} g(p,p) + \frac{1}{2} (\mathcal{L}_{\xi} g)( p, p ) = -\partial_\mu \Phi g( p, p ) = 0$$

Una comprobación rápida muestra que$p^\mu \xi_\mu = p^\mu e^{-\Phi }$son justo lo que hemos derivado.