¿Cómo se deriva la primera ecuación de Friedmann de las ecuaciones de campo de Einstein?

Veo que la primera Ecuación de Friedmann (para el espacio plano) es:

( a ˙ a ) 2 = 8 π GRAMO 3 ρ .
Y sé que la ecuación de Einstein, solo considerando el componente tiempo-tiempo es:
R 00 − 1 2 gramo 00 R = 8 π GRAMO T 00 .
Y yo sé que T 00 en el tensor es ρ , por lo que obtenemos:
R 00 − 1 2 gramo 00 R = 8 π GRAMO ρ .
¿Podría alguien completar los pasos que faltan? ¿Cómo llegamos a:
R 00 − 1 2 gramo 00 R = 3 ( a ˙ a ) 2   ?

Nunca encontré una solución completando los pasos faltantes. En el mejor de los casos, los libros de texto (y tengo al menos cinco) parecen dejar esto como un ejercicio. He dado una derivación completa de la ecuación de Friedmann en mi tercer libro, para el caso del espacio curvo y la constante cosmológica, pero requiere seis páginas de cálculo, por lo que no puedo dar una respuesta aquí.
@CharlesFrancis - ¿Está disponible para una conversación en el h-bar?

Respuestas (2)

Este es un ejemplo típico donde una derivación newtoniana es mucho más simple y rápida y da la misma respuesta. Que usted puede encontrar fácilmente en línea.

Pero si quieres hacer esto desde GR, entonces tienes que calcular la entrada del tensor de Ricci R 00 , el escalar de Ricci R y la entrada de la métrica gramo 00 :

  • gramo 00 = 1 ;

  • R 00 :

    R 00 = R t metro t metro = R r t r r + R t θ t θ + R t ϕ t ϕ = − 3 a ¨ a ,
    donde cada tensor de Riemann depende de los símbolos de Christoffel (enumerados, por ejemplo, en la sección C aquí);

  • R :

    R = gramo i k R i k = − 6 a ¨ a − 6 ( a ˙ a ) 2 − 6 1 k 2 a 2 ,
    dónde k − 2 = 0 para espacio plano.

Así que poniéndolo todo junto:

R 00 − 1 2 R gramo 00 = − 3 a ¨ a + 3 a ¨ a + 3 ( a ˙ a ) 2 .

Por eso:

3 ( a ˙ a ) 2 = 8 π GRAMO ρ ,
⇒ ( a ˙ a ) 2 = 8 π GRAMO 3 ρ .

Vale la pena señalar que el RHS se deriva del tensor de energía de estrés de un fluido perfecto.
Ah sí, bueno señalar esa suposición.
Que usted puede encontrar fácilmente en línea. Ni siquiera tengo idea de qué términos de búsqueda usaría. ¿Hay alguna posibilidad de que puedas encontrar uno y publicar el enlace? Sería educativo ver cómo se hace con la física newtoniana.
Por "fácilmente" quise decir que es la derivación que normalmente encontrarías. Menos fuentes hacen el GR real. La mayoría de las notas de conferencias universitarias siempre se vuelven clásicas.
@SuperCiocia - ¿Entiendes esta derivación? No puedo leer la letra y estoy tratando de decodificar el paso donde la constante de integración se convierte en el término de curvatura. Es decir, ¿cómo 8 π GRAMO 3 ρ R 2 + A y B = A ( gramo R ) 2 convertirse k C 2 a 2 en la versión GR.
@GluonSoup B = A ( a / R ) 2 pero estoy de acuerdo en que están siendo un poco arrogantes con las matemáticas porque esencialmente saben con qué deberían terminar. Tal vez mire la ec. 25 aquí que también se deriva con la mecánica newtoniana. Tal vez eso es más comprensible.
y cual es el R en esta parte de todos modos? ¿No debería un radio de curvatura (también R ) estará entrando en la ecuación en este momento?
R es el radio de la esfera, planeta o estrella. No tendrás un término de curvatura. k aquí ya que estás en mecánica clásica. Pero entienden esto B término. Y escriben que en términos del parámetro de densidad Ω 0 que también aparece en GR. Hay un Ω 0 asociado con la constante cosmológica (constante), con la densidad de radiación ( ∝ a − 4 ), con materia bariónica+oscura ( ∝ a − 3 ), y con la 'densidad de curvatura espacial', que va como ∝ a − 2 . Así que aquí lo "deus ex machina" y lo asocian con la curvatura porque es ∝ a − 2 .

Γ a b C = 1 2 gramo C d ( gramo a d , b + gramo b d , a − gramo a b , d )

R a b = ∂ C Γ a b C − ∂ a Γ b C C + Γ a b C Γ C mi mi − Γ a d C Γ b C d

Entonces, dada una métrica, puede calcular cualquier símbolo de Christoffel, y dado cualquier símbolo de Christoffel, puede calcular el tensor de Ricci. Simplemente gire la manivela y calcule R 00 y R

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