La forma más rápida de encontrar los términos de curvatura de una métrica determinada [cerrado]

Quiero encontrar las soluciones estáticas esféricamente simétricas para las ecuaciones de Einstein.

R m v − 1 2 R gramo m v = 0

en cuatro dimensiones usando la métrica

gramo m v d X m d X v = − A ( r ) d t 2 + B ( r ) [ d r 2 + r 2 ( d θ 2 + pecado 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) ]

Mi pregunta es: ¿Cuál es la forma más rápida de hacerlo? Estoy eliminando los términos utilizando simplificaciones obvias como "sólo r y θ las derivadas pueden sobrevivir" o "los elementos métricos fuera de la diagonal dan cero", pero aún así es tan largo y complicado. Me tomó más de una hora encontrar el t t ecuación. Entonces, quiero saber si hay una forma más rápida de manejar este tipo de ecuaciones. Estaré agradecido si usted puede ayudar.

Conozco este método aunque no lo usé al calcular la ecuación tt. Entonces, ¿es esta la mejor manera de hacerlo?
La gente discutirá todo el día sobre cuál es la mejor forma de calcular el tensor de Ricci. Creo que Cartan es más rápido que el método estándar. Algunos usan el método de la tétrada nula. Es muy subjetivo.
Muy bien, lo intentaré usando las ecuaciones de Cartan. Gracias por la ayuda.
Si va a hacer esto más de una vez, puede considerar usar un sistema de álgebra computacional como Maxima maxima.sourceforge.net o su versión en ventana wxMaxima andrejv.github.io/wxmaxima
@ 0celo7 Cartan es definitivamente el mejor, a menos que la métrica tenga una forma muy especial que sea manejable con algunos argumentos inteligentes.
Gracias a los dos. Para este necesito mostrar mis cálculos en la parte del Apéndice, así que usaré las ecuaciones de Cartan. Pero si aparece algo similar después de eso, planeo usar Maxima, @m4r35n357. Gracias de nuevo.

Respuestas (1)

Recomendaría usar Mathematica para calcular curvaturas, a menos que haya una buena razón para hacerlo a mano (por ejemplo, tal vez desee calcular las curvaturas para una métrica manteniendo la dimensión general). No es difícil escribir su propio código para hacer esto, y creo que en realidad es una buena idea. También encontré este código muy útil: http://www.inp.demokritos.gr/~sbonano/RGTC/ . Es lo suficientemente bueno para manejar formas diferenciales también.

La solución que encontrará para su ansatz anterior es la solución de Schwarzschild, pero la ha escrito en coordenadas no estándar conocidas como coordenadas isotrópicas. El segundo término entre paréntesis es solo un espacio plano en coordenadas esféricas.

Si está calculando las curvaturas a mano para una métrica de producto deformada simple como esta, hay un truco ingenioso que puede usar. Si realiza una transformación de Weyl,

d s ′ 2 = Ω 2 d s 2 , con Ω 2 = B − 1 ,

entonces la métrica resultante es muy simple:

d s ′ 2 = − A B d t 2 + ∑ i = 1 3 d y i 2 ,

y la curvatura de esta nueva métrica es muy fácil de calcular ya que es un producto directo (¡y uno de los productos es el espacio plano!). Luego, usar la fórmula de transformación de Weyl para el tensor de curvatura le permite encontrar la curvatura para la métrica original d s 2 . Esta fórmula se puede encontrar en cualquier libro de texto GR.

Gracias. En realidad, no soy muy bueno con los programas informáticos, por lo que debería dedicar mucho tiempo a aprenderlos. Teniendo en cuenta mi falta de tiempo optaré por hacer el cálculo a mano. Además debo mostrar la mayor parte de mi trabajo escrito. Pero pensaré seriamente en el método de transformación de Weyl que mencionaste, es algo nuevo para mí y me parece simple y útil. Muchas gracias.
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