Verificación de la afirmación de homeomorfismo de 'matemáticas standup'

No son homeomorfos. Son simplemente homotopía equivalente.

Una forma de ver que no son homeomorfos es que tienen diferentes números de componentes de contorno (tres contra uno).

Una forma más elegante (usando la homología) es considerar el hecho de que una esfera con tres agujeros puede estar incrustada en el plano, lo que implica que el número de intersección algebraica de cualquier par de bucles cerrados es$0$módulo$2$. Pero en un toro con un agujero, es fácil encontrar un par de curvas que se intersequen exactamente en un punto, lo que significa que el número de intersección algebraica es$1$módulo$2$.

Abordar "tienen espesor": si estamos considerando (como lo hace Parker en el video) superficies engrosadas , que podría formalizarse como productos de una superficie con un intervalo (y por lo tanto son variedades tridimensionales), entonces las superficies engrosadas son de hecho homeomorfo Ambos son manillares de género 2 .

En general, si una deformación superficial orientable se retrae sobre una cuña de$g$círculos (como$S^1\vee S^1$para$g=2$) entonces sus engrosamientos son homeomorfos a un género-$g$manillar

Hay otra forma de formalizar un engrosamiento que depende de la forma en que se incrusta una superficie en$\mathbb{R}^3$, que es espesarlo en el espacio ambiental (es decir, tomar un producto con el paquete normal, en lugar de con un trivial$I$-paquete como arriba). Puede eliminar la dependencia de la orientabilidad con esta noción de engrosamiento. Una tira de Mobius "engrosada ambientalmente" es homeomorfa a un anillo "engrosado ambientalmente", donde ambos son homeomorfos a un género.$1$cuerpo del mango (un toro sólido). Pero espesados ​​de la primera forma, no son homeomorfos. La tira de Mobius proporciona un colector de 3 no orientable, pero los cuerpos de las manijas son orientables.

Al ver el video, parece darse cuenta de que no son homeomorfos como 2-variedades.

Él dice que para justificar el paso crucial de pasar de dos cilindros pegados perpendicularmente a dos anillos unidos en el lado dentro de un plano, hay que considerar el grosor de la tela, para que sean objetos 3D, en lugar del grosor al pasar de 1D (2 círculos unidos) a 2D.

Ver este punto en el video .

Hay un lazo en el toro perforado cuyo complemento es conexo pero el complemento de un lazo en una esfera a la que se le quitan tres discos nunca es conexo, por lo que no pueden ser homeomorfos.