Homeomorfismo y círculo unitario

Problema: Deja$X$el intervalo semiabierto$[0,1)\subseteq \mathbb{R}$y$\mathbb{S}^1$Sea el círculo unitario en$\mathbb{C}$. Definir un mapa$\phi: [0,1) \rightarrow \mathbb{S}^1$por$\phi(x)= \cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)$. Demuestre que es continua y biyectiva pero no un homeomorfismo.

Mi intento:$\phi(x)=\phi(y)$ $\implies$ $\cos(2\pi(x-y))=1$ $\implies$ $x=y$. Entonces el mapa es inyectivo. El mapa también es sobreyectivo y, por lo tanto, el mapa es biyectivo. Dejar$\epsilon>0$y establecer$\delta = \frac{\epsilon}{4\pi}$. si$y\in [0,1)$tal que$|x-y|<\delta$entonces$|f(x)-f(y)|\leq 4\pi |x-y|<\epsilon$. Por lo tanto, el mapa es continuo. Basta con mostrar que el mapa no está abierto. Observa, ya que$[0,\frac{1}{2})= (-\frac{1}{2},\frac{1}{2}) \cap [0,1)$, por lo tanto está abierto en$[0,1)$.

como muestro eso$[0,\frac{1}{2})$no está abierto en la imagen?