Espacios topológicos, variedades topológicas y grupos topológicos

1. Hay demasiados, debe tomar cualquier libro de texto de topología, encontrar ejemplos en ese libro y verificar si son variedades. Tomemos, por ejemplo, el conjunto de Cantor, topologías indiscretas/discretas, topologías de Zariski, curvas/superficies/hipersuperficies con singularidades, ...

2. Los ejemplos básicos de grupos topológicos que también son variedades serían grupos de Lie, y el ejemplo clásico de grupos de Lie son grupos de matriz como$\operatorname{GL}_n(\mathbb R), \operatorname{SL}_n(\mathbb R), O_n(\mathbb{R}), \operatorname{Sp}_n(\mathbb{R}), ...$. Los grupos finitos se pueden convertir en grupos topológicos dándoles la topología discreta (a menudo se le da a los conjuntos finitos la topología discreta).

Por cierto, los grupos de Lie no son solo los ejemplos básicos de grupos topológicos a los que se les puede dar una estructura múltiple, ¡son los únicos ejemplos! Esto se responde con el Quinto Problema de Hilbert .

$1.$Otro ejemplo interesante son las letras (como subconjunto de$\mathbb{R}^2$).

$Y, X, A, H...$todas las letras que tienen segmentos con intersección fuera de los vértices no son variedades topológicas. Por ejemplo la carta$Y$:

Si$Y$es un topológico$1-$múltiple, entonces puedes tomar una pequeña bola abierta (denotamos$\mathcal{B}$) que contiene el centro de la letra tal que$\mathcal{B} \cap Y$es homemórfico (denotamos$\varphi$) a un subconjunto abierto de$\mathbb{R}$. Desde$\mathcal{B}\cap Y$está conectado, tenemos eso$\varphi(\mathcal{B}\cap Y)$está conectado. Por lo tanto, como el conectado de$\mathbb{R}$son los intervalos, tenemos que$\varphi(\mathcal{B}\cap Y)$es un intervalo abierto.

Si quitas el centro, la letra$Y-\{center\}$tienen tres componentes conectados pero$\varphi(\mathcal{B}\cap Y)$tienen dos componentes conectados. Desde$\varphi: Y-\{center\}\to \varphi(\mathcal{B}\cap Y)-\{center\}$siendo un homeomorfismo y el homeomorfismo conserva el número de componentes conexas, tenemos una contradicción.

El mismo argumento para las otras cartas es similar.

$2.1$Todo grupo finito con topología discreta (todos los singleton son subconjuntos abiertos) es un$0-$variedad topológica dimensional. Por ejemplo, el grupo diédrico$D_n$, el grupo cíclico$C_n$y el grupo de permutaciones$S_n$.

$2.2$Los grupos finitos con topología discreta también son grupos de mentira.