Homeomorfismo de dos figuras

Tengo que demostrar que las siguientes dos figuras son homeomorfas entre sí. Denotemos la primera y segunda cifras como X , Y respectivamente.

X se obtiene cosiendo tres tiras de papel retorcidas a dos discos circulares de papel y Y se obtiene cosiendo dos tiras largas de papel como se muestra en la figura.

Mi intento: dado que una banda de Mobius de doble torsión es homeomorfa a un cilindro, figura X es homeomorfo a "Una banda de Mobius con un pequeño disco extraído de su interior" (espero que esté bien. Si no, puede dar su argumento de por qué no está bien y luego proceder de otra manera). También podemos mostrar Y es homeomorfo a "Un toro al que se le ha quitado un pequeño disco". Ahora sabemos que si F : Y → X es un homeomorfismo entonces F ( ∂ Y ) = ∂ X . Obviamente F | ∂ Y es continuo Pero aquí según mi descripción ∂ X tiene dos componentes mientras que ∂ Y tiene un solo componente, por lo que no pueden ser homeomorfos entre sí.

¡Así que por favor encuentra la falla en mi argumento y dame una pista para probar esto! Si estos no son homeomorfos, entonces también dame alguna pista para refutar esto (aunque lo he refutado, necesito saber si hay alguna otra forma en que podamos pensar sobre esto).

También tenga en cuenta que ambos tienen el mismo tipo de homotopía ya que ambos se deforman y se retraen para figurar ∞ , por lo que existe la posibilidad de que estas figuras sean homeomórficas.

PD Bueno, ¡también puedes darme una respuesta intuitiva!

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Respuestas (1)

no creo que la figura X es una banda de Mobius con un disco extraído. Por un lado, solo tiene un componente de límite (solo con pasar el dedo por los arcos y ver que cubre todo). En segundo lugar, es orientable, ya que siempre se pasa por un número par de bandas torcidas cuando se transita por cualquier curva cerrada.

Si puede usar el teorema de clasificación de superficies, entonces podría verificar que las dos son homeomorfas calculando la característica de Euler (que es − 1 para ambos), número de componentes de contorno ( 1 para ambos), y el hecho de que ambos son orientables.

Para una forma más directa de ver que son homeomorfos, comenzamos observando la figura Y . Es un anillo con una tira pegada a él. Entonces queremos describir X del mismo modo. Ahora si cortamos uno de los giros de la figura X , nos queda una banda con dos giros, que es homeomorfa a un anillo. Entonces X es de hecho homeomorfo a un anillo con una banda pegada a él. Hay dos formas de pegar una banda, una que da como resultado una superficie orientable y otra que da como resultado una superficie no orientable, y sabemos X es orientable. Entonces la superficie X es homeomorfo a la superficie orientable donde pegamos una banda a un anillo, que también es homeomorfo a Y .

bueno, ¡no tengo una idea clara sobre la orientabilidad de los espacios! Tampoco sé el "teorema de clasificación de superficies". Lo que dices, lo entendí. Pero, ¿no es cierto que "la banda de Möbius doblemente torcida es homeomorfa al cilindro"? entonces, ¿dónde salió mal mi argumento?
Me gustaría preguntar si puede proporcionar una forma más básica.
Es cierto que una banda de Möbius doblemente torcida es homeomorfa al cilindro, pero tenga en cuenta que la figura X no es una banda triplemente torcida: las bandas están pegadas entre sí de forma diferente. Si recorre una curva cerrada en una banda triplemente torcida, pasa por los tres giros, pero en la figura hay curvas cerradas que solo pasan por dos giros.
Una banda de Mobius con un disco extraído tendría dos componentes de contorno, pero podemos ver en la figura que solo tiene un componente de contorno.
He agregado lo que espero sea una forma intuitiva de ver que X y Y son homeomorfos.
Cómo lo sabemos X es orientable?
Una forma de pensar en la orientabilidad en este caso es imaginar una flecha que apunta hacia afuera de la superficie empujando esa flecha alrededor de la superficie. Si la superficie no es orientable, entonces es posible volver al mismo punto con la flecha apuntando en dirección opuesta (por ejemplo, en la banda de Möbius). Con una superficie orientable, la flecha siempre estará orientada en la misma dirección cuando volvamos, como es el caso de X .
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