Deformando el toro sin punto a S1∨S1S1∨S1S^1 \lor S^1

Permítame responder a su pregunta principal considerando primero una situación diferente.

Deformar la esfera$S^2$con un punto a un punto: Tomar un punto$P \in S^2$y quitarlo, y mostrar que lo que queda de deformación se retrae hasta un punto. Para ello elijamos$P$ser el polo norte$P=(0,0,1)$, y definiremos una retracción por deformación de$S^2 - \{P\}$al polo sur$Q = (0,0,-1)$.

Intuitivamente, la restricción de deformación mueve cada punto de$S^2 - \{P\}$hacia el sur, a lo largo de la línea de longitud que pasa por ese punto, hasta el polo sur$Q$.

¿Dónde precisamente en este argumento usamos el hecho de que eliminamos el punto$P$?

No hay una línea de longitud bien definida a través del polo norte; en cierto sentido, el polo norte se encuentra en cada línea de longitud. Por lo tanto, tuvimos que eliminar el polo norte antes de que nuestra retracción de deformación pudiera definirse bien.

¿Cuál es una forma rigurosa de hacer esto?

Usar coordenadas esféricas en$\mathbb R^3$, cuyas propiedades requeridas, incluidas las propiedades de continuidad apropiadas, son conocidas por su conocimiento y experiencia en geometría analítica. Usando coordenadas esféricas, escriba una fórmula para la retracción de deformación

$$h : (S^2 - \{P\}) \times [0,1] \to S^2 - \{P\}$$ La fórmula para$h$que anote debe tener el efecto de que la coordenada de latitud (generalmente en$[0,2\pi]$, con$0$y$2\pi$identificado) no cambia como el parámetro de tiempo$t \in [0,1]$aumenta de$0$a$1$. Pero la coordenada de longitud (generalmente en$[-\pi/2,\pi/2]$con$-\pi/2$como el polo sur y$+\pi/2$como el polo norte) debe disminuir a velocidad constante desde su valor inicial en$[-\pi/2,\pi/2)$, moviéndose a lo largo de su línea de latitud hasta el valor final$-\pi/2$.

Aviso: el polo norte tuvo que omitirse porque no se encuentra en una longitud bien definida, por lo que no hay forma de extender la fórmula para$h$continuamente. Intuitivamente, no podemos elegir continuamente una línea de longitud a lo largo de la cual el polo norte se mueve hacia el polo sur. Si bien también es cierto que la línea de longitud en el polo sur no está bien definida, el polo sur no se mueve bajo la retracción de la deformación.

Pero , para mayor rigor, debe escribir la fórmula para$h$, y verifique todas sus propiedades requeridas para la retracción de deformación deseada.

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Ahora, en el toroide.

Modelar el toro$T$como el cociente del cuadrado$R = [-1,+1] \times [-1,+1]$con respecto a la relación de equivalencia generada por$(x,-1) \sim (x,+1)$y$(-1,y) \sim (+1,y)$. En lugar de coordenadas cilíndricas o esféricas en$S^2$, usa coordenadas radiales en el cuadrado$R$. su límite$\partial R$es la unión de los cuatro lados$\{-1\} \times [-1,+1]$,$\{+1\} \times [-1,+1]$,$[-1,+1] \times \{-1\}$,$[-1,+1] \times \{+1\}$. vamos a quitar el punto$\mathcal O = (0,0)$. Usando nuestro conocimiento y experiencia en geometría analítica plana, cada punto$x \in R - \{\mathcal O\}$puede escribirse únicamente en la forma

$$r(x) \cdot b(x)$$ dónde $$\begin{align*} r(x) &= \frac{1}{\max\{x_1,x_2\}} \\ b(x) = \frac{x}{r(x)} \end{align*}$$ Hemos quitado el punto.$\mathcal O$para que estas expresiones$r(x)$y$b(x)$ser bien definida y continua como funciones de$x \in R - \mathcal O$.

Ahora use las coordenadas para definir la fórmula para la retracción de la deformación.

$$h : (R - \mathcal O) \times [0,1] \to R - \mathcal O$$ Intuitivamente, la fórmula para$h$mantiene la coordenada límite$b(x)$constante, mientras que la coordenada "radial" aumenta linealmente desde su valor inicial$r(x) \in (0,1]$a su valor final$1$, como$x$se mueve hacia afuera a lo largo de su segmento radial hacia$\partial R$.

Aviso: el punto central$\mathcal O$Tuvo que ser removido, porque no se encuentra en un segmento radial bien definido y, por lo tanto, no hay forma de extender$h$continuamente. Ahora, bajo la identificación de$\partial R$a una cuña de dos círculos, un punto en esa cuña no corresponde a un punto bien definido de$\partial R$, en cambio, corresponde a cualquiera$2$o$4$puntos de$\partial R$; sin embargo, esto no importa porque esos puntos no se mueven bajo la retracción de la deformación.

Creo que ya se ha resuelto todo en los comentarios, pero aquí hay un poco más de información. El punto principal es que un cuadrado bidimensional con su centro eliminado puede retraerse por deformación en su perímetro, vea, por ejemplo, la publicación vinculada de Angina Seng. Los detalles de cómo se logra esto no son demasiado importantes. Por ejemplo, Tyrone describió en los comentarios cómo hacer esto identificando primero el cuadrado con el disco. Solo con el propósito de brindar otra perspectiva, aquí hay un enfoque que podría usar para bajar las cosas al nivel de las fórmulas sin pasar del cuadrado al disco euclidiano.

Dejar$(X,\| \cdot\|)$Sea un espacio vectorial normado. Dejar$B = \{ x \in X : \|x\| \leq 1\}$sea ​​la bola unitaria cerrada y$S= \{x \in X: \|x\|=1\}$la esfera unidad. Es bastante sencillo dar una homotopía.$f_t:B \setminus \{0\} \to B \setminus \{0\}$deformar el mapa de identidad de la pelota pinchada en el "mapa de normalización"$x \mapsto \frac{x}{\|x\|} : B \setminus \{0\} \to S$manteniendo los puntos de$S$fijado. Solo divide un vector$x$por un factor que cambia continuamente de$1$a$\|x\|$, decir

$$f_t(x) = \frac{x}{1-t + t\|x\|}.$$ Es importante ver que el mapa de normalización no se extiende a toda la pelota, ya que en ese caso se obtiene una división por cero. Eliminar un punto es crucial para obtener la retractación.

Ahora, tomando$X= \mathbb{R}^2$y usando el$\infty$-norma

$$\|x\|_\infty = \max(|x_1|,|x_2|)$$ se tiene que la bola y la esfera son, respectivamente, el cuadrado bidimensional de longitud de lado 2 centrado en$0$y el perímetro de ese cuadrado, por lo que el procedimiento anterior se aplica a este caso, en particular.