Definición de homeomorfismo que conserva la orientación

En cualquier topológico$n$-colector$M$, definir una orientación de$M$ser una función$\mu$definido en$M$tal que para cada entrada$x \in M$, La salida$\mu(x)$es uno de los dos generadores del grupo cíclico infinito$H_n(M,M-x)$, y se cumple la siguiente propiedad: para cada apertura incrustada$n$-pelota$B \subset M$existe un generador$\mu_B$del grupo cíclico infinito$H_n(M,M-B)$tal que para cada$x \in B$el homomorfismo inducido por la inclusión$H_n(M,M-B) \mapsto H_n(M,M-x)$mapas$\mu_B$a$\mu(x)$.

Ahora uno prueba

• Teorema (y definición): para toda variedad topológica$M$se cumple exactamente una de dos posibilidades:$M$tiene exactamente dos orientaciones, en cuyo caso decimos que$M$es orientable ; o$M$no tiene orientaciones, en cuyo caso decimos que$M$es no orientable .

Este teorema es uno de los pasos preliminares a la demostración de la dualidad de Poincaré; véase, por ejemplo, el libro de Hatcher "Topología algebraica". De hecho, demostrando que los grupos de homología relativa$H_n(M,M-B)$y$H_n(M,M-x)$son infinitos cíclicos es también uno de los pasos preliminares.

Ahora a tu pregunta.

Dejar$M$sea ​​una variedad topológica conexa.

Si$M$es no orientable, entonces no tiene sentido preguntar si un homeomorfismo de$f$conserva la orientación, y todo el concepto de "preservar la orientación" no está definido para$M$.

Si por el contrario$M$es orientable entonces decir que un homeomorfismo$f : M \to M$si la orientación conserva significa que para cualquiera de las dos orientaciones$\mu$de$M$, y para cualquier$x \in M$, el isomorfismo inducido$f : H_n(M,M-x) \to H_n(M,M-f(x))$acepta$\mu(x)$a$\mu(f(x))$.