Tipo de homeomorfismo del cono en un cilindro.

$C(D^2 \times I)$es homeomorfo a$C(D^3)$que es homeomorfo a$D^4$como sospechaba k.stm. Más generalmente, obtienes un homeomorfismo entre$C(D^{n-1} \times I)$y$D^{n+1}$usando el hecho de que si$X \cong Y$entonces$CX \cong CY$junto con cuatro homeomorfismos que he tratado de describir visualmente de la siguiente manera:

1)$D^{n-1} \times I \simeq D^n$: el producto$D^{n-1} \times I$del$(n-1)$bola unitaria -dimensional y el intervalo unitario es homeomorfo a la$n$-bola unidad dimensional$D^n$por una dilatación radial. (Cuando$n = 2$, esto dice que un disco inscrito dentro de un cuadrado es homeomorfo al cuadrado.)

2)$D^n \cong S^n_+$: el$n$-bola unidad dimensional$D^n$es homeomorfo al hemisferio superior$S^n_+$de la esfera unitaria$S^n \subseteq \mathbb{R}^{n+1}$por una proyección vertical.

3)$CS^n_+ \cong D^{n+1}_+$: el cono$CS^n_+$es homeomorfo al hemisferio superior$D^{n+1}_+$del$(n+1)$-bola unidad dimensional$D^{n+1}$por restricción del homeomorfismo obvio entre$CS^n$y$D^{n+1}$.

4)$D^{n+1}_+ \cong D^{n+1}$:$D^{n+1}_+$es homeomorfo a$D^{n+1}$por una dilatación vertical.

Tenga en cuenta que$C(D^{n-1}\times I)$es una variedad con frontera pero su frontera no es $D^{n-1}\times I$. Además, el cono sobre una variedad no es una variedad en general.