¿Hasta qué punto los homeomorfismos son solo deformaciones?

Fondo. A menudo se dice que dos espacios son homeomorfos si, en términos generales, un espacio puede deformarse continuamente en el otro sin rasgarse ni pegarse. Luego se enfatiza que esto es más un principio rector que un hecho sólido. De hecho, un conocido 'contraejemplo' de esta heurística sería la tira de Möbius de doble torsión.$M$, que es homeomorfo al cilindro$C$, pero cuando visualizamos los dos espacios en$\mathbb{R}^3$, encontramos que no podemos deformarnos unos en otros sin desgarrarnos.

¿Por qué pasó esto? En cierto sentido esto se debe a que$\mathbb{R}^3$no tiene suficiente espacio para la deformación deseada; simplemente no hay suficientes dimensiones para 'destorcer' el doble giro sin romper las cosas. Esto nos lleva a lo siguiente:

Pregunta preliminar. Supongamos que tuviera que incrustar$M$y$C$en$\mathbb{R}^n$para algunos grandes$n$. ¿Puedo ahora deformar uno en el otro sin rasgar o pegar?

La respuesta resulta ser sí, y de hecho creo$n = 4$ya basta. Si te interesan las pruebas informales, sigue leyendo; si no, desplácese hacia abajo hasta la parte principal. Comencemos con una incrustación adecuada de un doble giro.

Esta imagen visualiza una incrustación del doble giro dentro$\mathbb{R}^4$, donde las tres primeras dimensiones son espaciales y la cuarta dimensión está representada por diferentes colores. (La elección de los colores puede ser desafortunada, pero no tenía otros bolígrafos). Ahora imagine acercar la 'tira izquierda' y la 'tira derecha', así.

Observe que el 'doble giro' comienza a parecerse a un bucle. Ahora, si acercamos aún más las tiras, comenzarán a superponerse espacialmente. Pero tenga en cuenta que los colores seguirán siendo diferentes en la superposición para que no se produzcan rasgaduras o pegados. Ahora continúa hasta que las dos tiras se superpongan por completo. En este punto, los colores se han alineado, de modo que el giro se ha convertido en un 'bucle'.

Este bucle no es deseable, pero la solución a ese problema es simple. Durante el proceso en el que dejamos que las tiras se superpongan, simplemente dejamos que el tamaño del bucle llegue a cero. En el mismo momento en que se completa la superposición (y los colores se alinean), el tamaño del bucle alcanza y, como tal, el bucle desaparecerá por completo. 'QED'.

A nuestra pregunta principal. Vemos que nuestro contraejemplo ya no es un contraejemplo. Por lo tanto, podríamos preguntarnos si esto es parte de un fenómeno general. Hagamos esto más preciso.

Dejar$X$sea ​​un espacio topológico, y sea$f : X\to \mathbb{R}^n$y$g : X \to \mathbb{R}^n$ser dos incrustaciones. Denotamos por$\varepsilon_{n,m} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{n+m}$la incrustación que envía un punto$x$a$(x,0)$. Digamos$f$puede ser deformado por incrustaciones en$g$si existe un$m$y una homotopía de$H : X \times I \to \mathbb{R}^{n+m}$de$\varepsilon_{n,m} \circ f$a$\varepsilon_{n,m} \circ g$tal que para todos$t\in [0,1]$, el mapa$H_t : X \to \mathbb{R}^{n+m}$es una incrustación continua.

Pregunta. Suponer$X$es un espacio razonable (por ejemplo, una variedad compacta con límite). Dejar$f$y$g$ser dos incrustaciones de$X$en algunos$\mathbb{R}^n$. Poder$f$siempre ser deformado por incrustaciones en$g$?

Esta pregunta se puede generalizar y especializar de muchas maneras, así que siéntete libre de cambiar algunos de sus detalles.