Prueba rigurosa para un rayo que corta la frontera en un conjunto compacto convexo exactamente en un punto.

Como se mencionó anteriormente, estoy buscando una prueba rigurosa de esta afirmación: C ⊆ R 2 con 0 ∈ i norte t ( C ) sea ​​un conjunto compacto convexo, entonces para cada v ∈ R 2 hay un unico λ v > 0 con λ v v ∈ ∂ C . Cada prueba que he visto hasta ahora ignora algo o dibuja solo una imagen. Intuitivamente para mí hay 2 casos, que deben ser contradichos. La primera es que dos puntos aislados en el rayo deben intersecarse ∂ C , el segundo caso es que el rayo se encuentra en el límite, cortando ∂ C incontables muchas veces. Tal vez me estoy perdiendo algo, pero todas las pruebas hacen suposiciones que no entiendo o digo, la prueba es trivial.

Único λ v > 0.
La clave de una demostración es definir ∂ C rigurosamente

Respuestas (3)

Supongamos que, para algunos v ∈ R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } , hay dos números distintos a , b ∈ ( 0 , ∞ ) tal que a v , b v ∈ ∂ C . supondré que a < b . Dejar w ∈ R 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } tal que w ∉ R v . Desde 0 ∈ C ˚ , hay números α y β , con α < 0 < β , tal que ( ∀ t ∈ [ α , β ] ) : t w ∈ C . Desde C es convexo, todo el triangulo T cuyos vértices son α w , β w y b v (Quiero decir con esto el 2 -triángulo dimensional, no sólo sus lados) es un subconjunto de C . Pero T ˚ ⊂ C ˚ . En particular, a v ∈ C ˚ . Pero se suponía que a v ∈ ∂ C .

No entiendo el argumento, porque a v ∉ T .
Lo que quise decir con "triángulo" fue el 2 -triángulo dimensional, no sólo sus lados, y a v le pertenece He editado mi respuesta.
lo siento, leí α , β > 0 , pero α < 0 . ¡Esto es brillante!
Me alegro de poder ayudar.

Esto también es cierto en espacios más generales (no solo de dimensión finita). Podemos probarlo con un par de resultados que son útiles de manera más general. Como nota notacional general, denotamos por B [ X ; r ] la bola cerrada centrada en X , con radio r .

Proposición 1. Supongamos X es un espacio lineal normado, y , z ∈ X , r > 0 , y λ ∈ [ 0 , 1 ] . Entonces

B [ λ y + ( 1 − λ ) z ; λ r ] = { λ X + ( 1 − λ ) z : X ∈ B [ y ; r ] } .

Es decir, si toma el promedio ponderado entre un punto fijo z , y un punto arbitrario en una bola B [ y ; r ] , entonces estos promedios se encuentran en la bola que esperarías.

Prueba. Supongamos primero que X ∈ B [ y ; r ] , que es decir, ‖ X − y ‖ ≤ r . Deseamos mostrar que

(1) λ X + ( 1 − λ ) z ∈ B [ λ y + ( 1 − λ ) z ; λ r ] .
Considerar,
‖ λ X + ( 1 − λ ) z − ( λ y + ( 1 − λ ) z ) ‖ = ‖ λ X − λ y ‖ = λ ‖ X − y ‖ ≤ λ r .
Así, como estaba previsto, ( 1 ) se mantiene cierto.

Por el contrario, supongamos

(2) pag ∈ B [ λ y + ( 1 − λ ) z ; λ r ] ⟺ ‖ λ y + ( 1 − λ ) z − pag ‖ ≤ λ r .
Necesitamos encontrar algunos X ∈ B [ y ; r ] tal que λ X + ( 1 − λ ) z = pag . Tenga en cuenta que si λ = 0 , entonces ( 2 ) implica que pag = ( 1 − λ ) z , en cuyo caso la elección de X es irrelevante (elija cualquier X ∈ B [ y ; r ] te gusta). Si λ ≠ 0 , el único candidato posible para X es
X = 1 λ pag − 1 − λ λ z .
Ahora solo es cuestión de demostrar que esto X se encuentra en B [ y ; r ] como esperábamos. Tenemos,
‖ 1 λ pag − 1 − λ λ z − y ‖ = 1 λ ‖ pag − ( 1 − λ ) z − λ y ‖ = 1 λ ‖ λ y + ( 1 − λ ) z − pag ‖ ≤ 1 λ λ r = r .
QED.

Esto nos permite probar el siguiente resultado:

Corolario 2. Supongamos X es un espacio lineal normado, C ⊆ X es convexo, v , w ∈ C con w ∈ En t ⁡ C , y λ ∈ ( 0 , 1 ] . Entonces λ w + ( 1 − λ ) v ∈ En t ⁡ C .

Prueba. Dejar r > 0 tal que B [ w ; r ] ⊆ C , que existe porque w ∈ En t ⁡ C . Usando la Proposición 1, vemos que

B [ λ w + ( 1 − λ ) v ; λ r ] = { λ X + ( 1 − λ ) v : X ∈ B [ w ; r ] } .
Pero desde B [ w ; r ] ⊆ C , v ∈ C y C es convexo, cada punto en el último conjunto pertenece a C , entonces tenemos,
B [ λ w + ( 1 − λ ) v ; λ r ] ⊆ C ,
dónde λ r > 0 . De este modo, λ w + ( 1 − λ ) v ∈ En t ⁡ C .

QED.

Finalmente, podemos probar lo que quiere que se pruebe. No necesitamos dos dimensiones, pero sí queremos un conjunto convexo cerrado y acotado C , que contiene 0 en su interior. Suponer v ≠ 0 , y deja

λ v = sorber { λ ∈ [ 0 , ∞ ) : λ v ∈ C } .
Desde C está acotado, este supremo debe ser finito. si tenemos
λ norte ∈ { λ ∈ [ 0 , ∞ ) : λ v ∈ C }
tal que λ norte → λ v , entonces λ norte v ∈ C y
‖ λ norte v − λ v v ‖ = ( λ v − λ norte ) v → 0 ,
por eso λ v v pertenece al cierre de C , y por lo tanto C .

Tenga en cuenta que, para todos ε > 0 , ( λ v + ε ) v ∉ C , por definición de λ v . Esto implica que λ v v no yace en el interior de C , y por lo tanto se encuentra en el límite de C .

Ahora bien, si tenemos λ ≥ 0 tal que λ ≠ λ v , entonces tambien λ > λ v (en cuyo caso, como antes, λ v ∉ C , o de hecho su límite, ya que C está cerrado), o λ < λ v . En este último caso, obtenemos

λ v = λ λ v ( λ v v ) + ( 1 − λ λ v ) 0.
Tenga en cuenta que 1 − λ λ v ∈ ( 0 , 1 ] . Por el Corolario 2, λ v ∈ En t ⁡ C , lo que significa que no puede estar en el límite de C . De este modo, λ v v es el único múltiplo no negativo de v que se encuentra en el límite de C . Es decir, el rayo intersecta el límite únicamente, según se requiera.

Primero, el enunciado es verdadero si λ v se requiere que sea positivo . No es difícil ver que si λ v es simplemente real, de hecho hay dos coeficientes posibles.

Hay algunas formas interesantes en que uno podría probar esto, pero responderé sus preguntas particulares, fuera de orden.

  1. El rayo podría estar en el límite.

Esto es imposible, como 0 ∈ En t ( C ) . Después de todo, si el rayo estuviera en el límite, entonces 0 v sería así, ergo 0 ∈ ∂ C .

  1. Dos puntos aislados en el rayo pueden intersecarse ∂ C .

Supongamos que hay dos números positivos. λ , ξ de modo que λ v y ξ v están en ∂ C . WLOG, ξ > λ . Por definición de la frontera, hay ϵ > 0 de modo que ( λ + ϵ ) v ∉ C (Podemos elegir este punto del ϵ -bola en particular porque sabemos que el rayo no está en el límite, por mi primera respuesta). Pero desde C es convexa y λ + ϵ ∈ ( λ , ξ ) , tenemos un hecho contradictorio de que ( λ + ϵ ) ∈ C .

Aquí hay un boceto de prueba diferente que puede encontrar más agradable.

Asumir sin pérdida de generalidad v ∈ C . Esto se puede lograr escalando v hacia abajo, luego escalando el coeficiente λ obtenemos adecuadamente.

Triangulamos C de modo que 0 es un vértice. Entonces v es una combinación convexa de algún triángulo 0 , a , b :

v = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 0

dónde λ 1 + λ 2 = 1 − λ 3 , y λ i ∈ [ 0 , 1 ] . Entonces:

1 1 − λ 3 v = λ 1 1 − λ 3 a + λ 2 1 − λ 3 b

Donde los coeficientes suman 1. Así ( 1 − λ 3 ) − 1 es el λ T buscamos la triangulación T . Tampoco es difícil ver que esto es único.

Luego simplemente cree triangulaciones cada vez más finas, observe que λ T es continua en T y único en cada triangulación, y concluir el resultado.

2. El rayo podría estar en el límite: no fui preciso acerca de esta parte, en realidad quise decir que no toda la parte está en ∂ C , especialmente 0 ∉ ∂ C
Si 0 ∈ ∂ C para convexo C entonces la afirmación no se cumple para λ > 0 y todo v .
También agregué un boceto de prueba alternativo que puede convencerlo.
Prueba rigurosa para un rayo que corta la frontera en un conjunto compacto convexo exactamente en un punto.
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