Término de Chern-Simons: Integración de fermiones con huecos en dimensiones 2+1 acoplados a un campo de calibre externo

Creo que lo he descubierto.

Estamos buscando la respuesta topológica, por lo tanto, es suficiente mirar la respuesta de cualquier sistema descrito por un hamiltoniano conectado adiabáticamente con el que comenzamos. En particular, podemos usar uno con un espectro plano:$H=\int\frac{d^2p}{(2\pi)^2}\psi^{*}(p) H(p)\psi(p)$en que la relación$H(p)=U(p)\text{diag}(-I_{k},I_{n-k})U^{*}(p)$mantiene localmente. Aquí$k$es el número de bandas ocupadas y$U(k)=[v_1(p),...,v_{n}(p)]$es una matriz ortogonal de vectores propios de$H(p)$. En particular, el$k\times n$matriz$S(p)=[v_1(p),...,v_{k}(p)]$describe, localmente, el bulto ocupado. También podemos escribir$H(p)=P^{\perp}(p)-P(p)$, donde$P(p)=S(p)S^{*}(p)$es el proyector sobre la fibra del haz ocupado sobre$p$. La curvatura del paquete se puede describir como un endomorfismo del paquete trivial$\mathbb{T}^2\times \mathbb{C}^n$por la expresión$\Omega=PdP\wedge dPP=dP\wedge P^{\perp}dP$. La última expresión será útil para calcular la acción efectiva. La idea es que empecemos con$Z_0=\text{Det}(G_0^{-1})$y luego realice el acoplamiento mínimo a un campo de calibre externo. En una representación de espacio de fase ($(p,x)$-representación), y suponiendo que el campo de calibre externo varía en escalas mayores que la escala típica del sistema, podemos escribir la inversa de la nueva función de Green como$G^{-1}(p,x)\approx G_0^{-1}(p) -e A_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$. Escribiendo$\Sigma(p,x)=-eA_{\mu}(x)\partial G_0^{-1}/\partial p_ \mu(p)$tenemos$\text{Det}(G^{-1})\approx Z_0\text{Det}(I+G_0\Sigma)$. La acción efectiva se obtiene entonces por la expansión formal$\log(\text{Det}(I+G_0\Sigma))=\text{Tr}\log(I+G_0\Sigma)\approx \text{Tr}(G_0\Sigma)-\frac{1}{2}\text{Tr}(G_0\Sigma G_0\Sigma)$. La función de partición debe ser invariante de calibre, por lo tanto, solo buscaremos dichos términos. En$2+1$dimensiones, además del término de Maxwell, se nos permite tener el término de Chern-Simons$S_{CS}(A)=(1/4\pi)\int A\wedge dA$. Estamos buscando los términos cuadráticos (por lo tanto, en el segundo término de la expansión escrita antes) que tienen$A_\mu(x)$y$\partial_\mu A_\nu(x)$. Los productos bajo la traza funcional son, de hecho, circunvoluciones y, cuando realizamos la transformación a la representación mixta de posición-momento, obtenemos una expansión de producto torcida, a saber, el producto de Moyal:$\int d^3x_2 A(x_1,x_2)B(x_2,x_3)\rightarrow A(p,x)B(p,x)+(i/2)\{A,B\}_{\text{PB}}(p,x)+...$, donde$\{.,.\}_{\text{PB}}$es el soporte de Poisson. Los dos primeros términos de la expansión son suficientes para nosotros. Si buscamos los términos mencionados terminamos con la contribución$(ie^{2}/2)(1/3!)(\int d^3p/(2\pi)^3 \text{tr} (G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\mu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\nu G_0\partial G_0^{-1}/\partial p_\lambda) \varepsilon_{\mu\nu\lambda}) \int A\wedge dA$. Realizando la integral sobre la frecuencia$p_0$, se puede demostrar que el último es igual a$2\pi i\sigma_{H} S_{CS}(A)$, con$\sigma_{H}=(e^{2}/2\pi)\times \int_{\mathbb{T}^2}\text{tr}(i\Omega/2\pi)\equiv (e^{2}/2\pi)\times c_1$($c_1$denota el primer número de Chern del paquete ocupado), como se esperaba.