¿Qué se entiende por "modos" fermiónicos y bosónicos?

La terminología de un modo de un campo cuántico libre$\phi(x)$proviene de escribirlo como una transformada de Fourier, a menudo también llamada expansión de modo :

$$\phi(\vec x) = \int \frac{\mathrm{d}^3 p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left(a(\vec p)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec x\cdot\vec p} + b(\vec p)^\dagger\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\vec x\cdot\vec p}\right)$$ donde para un campo espinor o vectorial hay factores adicionales que no juegan un papel aquí. La pregunta crucial es si los objetos $a$y $a^\dagger$(y de la misma manera $b$y $b^\dagger$) conmutar o anticonmutar, ya que son los operadores de creación y aniquilación para la partícula (resp. antipartícula en el caso de $b$) asociado al campo.

Si conmutan, la partícula correspondiente es un bosón: puede acumular arbitrariamente muchas partículas en el mismo estado simplemente aplicando el operador de creación muchas veces. Entonces, los operadores son modos bosónicos . Si son anticonmutadores, la partícula correspondiente es un fermión: aplicar el operador de creación dos veces solo da cero, por lo que nunca puede tener más de una partícula en el mismo estado. Aquí, los operadores son modos fermiónicos . Son "modos" porque la transformada de Fourier divide una oscilación clásica en sus modos de frecuencia pura, por lo que, por analogía, también llamamos "modos" a los objetos que produce cuando se aplica a un campo cuántico.

En una ligera generalización, uno llama a cualquier colección de operadores de creación/aniquilación modos bosónicos o fermiónicos de acuerdo con sus relaciones de conmutación, independientemente de si surgieron de un campo cuántico o simplemente se dieron de alguna otra manera.

El término modo se usa para definir un estado particular de un sistema y puede referirse, por ejemplo, a su espín, vector de onda, polarización, carga, etc. Si quisiéramos crear un bosón en la posición$x$con un up-spin y con wavevector$k$, podemos usar el operador de campo$\hat{a}^\dagger(x, k, \uparrow)$en el estado de vacío$\vert0\rangle$.

La distinción más clara entre los modos fermiónico y bosónico es que los operadores de campo que describen el primero obedecen a relaciones anticonmutadoras, mientras que el segundo obedece a relaciones conmutadoras. Estos aseguran el principio de exclusión de Pauli y la simetrización de la función de onda respectivamente.