¿Número de generadores Grassmann para el campo Dirac?

Question

¿Número de generadores Grassmann para el campo Dirac?

Física
fermiones
Grassmann-números
teoría cuántica de campos

Hiren Patel

¿Cuántos generadores de Grassmann son suficientes para la descripción de un espinor de Dirac en 4 dimensiones? es decir, el campo de Dirac es un mapa para $\Lambda_N$ , el espacio de los supernúmeros con $N$ generadores Grassmann reales. Qué es $N$ ?

Esta es una pregunta de seguimiento a mi pregunta anterior Grassmann Paradox Weirdness . Estoy siguiendo el libro de Prakash Mathemaical Perspectives on Theoretical Physics , donde dicen un supernúmero $z\in\Lambda_N$ se puede pensar en la extensión de los números complejos mediante la adición de $N$ Generadores Grassmann $\zeta^1,\, \zeta^2,\,\ldots \zeta^N$ . El supernúmero más general se escribe

z = z_{0} + z_{i} ζ^{i} + \frac{1}{2!} z_{i j} ζ^{i} ζ^{j} + \dots,

$z = z_0+z_i\zeta^i+\textstyle\frac{1}{2!}z_{ij}\zeta^i\zeta^j+\ldots,$ dónde

z_{i}

$z_i$ ,

z_{i j}

$z_{ij}$ ,

\dots

$\ldots$ , son de valor complejo y antisimétricas. La parte extraña de esto es anticonmutación y se usa para describir los campos de Fermion. El libro dice que para finito

N

$N$ , se necesita

2^{N - 1}

$2^{N-1}$ números complejos para especificar un número anticonmutación.

¿Cómo puedo calcular cuántos generadores Grassmann $\zeta^i$ Necesito especificar un espinor de Dirac en 4 dimensiones.

Heidar

Diría que necesita un número infinito e incontable de generadores Grassmann. Uno para cada punto de espacio-tiempo y componente de espinor, luego duplique todo para el campo conjugado. Entonces el campo de Dirac es un elemento del subespacio del álgebra de Grassmann con un solo generador. Entonces, el único producto de los campos de Dirac que es cero es

ψ_{α} (x) ψ_{α} (x) = 0

$\psi_\alpha(x)\psi_\alpha(x)=0$ , donde ambos son el mismo componente de espinor y en el mismo punto de espacio-tiempo.

Hiren Patel

No estoy de acuerdo con la respuesta. Es muy probable porque no entiendo completamente tu lógica. ¿Lo desarrollarías en detalle como respuesta?

Hiren Patel

@Heidar Ahora estoy de acuerdo con tu respuesta. Publique su comentario como respuesta para que pueda aceptarlo.

Heidar

No había visto tu comentario anterior, perdón por no responder. Creo que siempre es bueno agregar @ para asegurarse de que las personas noten su comentario. He agregado una respuesta con algunos detalles más.

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¿Número de generadores Grassmann para el campo Dirac?

Diría que necesita un número infinito e incontable de generadores Grassmann. Uno para cada punto de espacio-tiempo y componente de espinor, luego duplique todo para el campo conjugado. Entonces el campo de Dirac es un elemento del subespacio del álgebra de Grassmann con un solo generador. Entonces, el único producto de los campos de Dirac que es cero es $\psi_\alpha(x)\psi_\alpha(x)=0$ , donde ambos son el mismo componente de espinor y en el mismo punto de espacio-tiempo.
No estoy de acuerdo con la respuesta. Es muy probable porque no entiendo completamente tu lógica. ¿Lo desarrollarías en detalle como respuesta?
@Heidar Ahora estoy de acuerdo con tu respuesta. Publique su comentario como respuesta para que pueda aceptarlo.
No había visto tu comentario anterior, perdón por no responder. Creo que siempre es bueno agregar @ para asegurarse de que las personas noten su comentario. He agregado una respuesta con algunos detalles más.

Heidar · Answer 1

Para el campo de Dirac se necesita un número infinito e incontable de generadores de Grassmann. Lo que queremos es la siguiente propiedad

ψ_{m} (X) ψ_{v} (X^{'}) = - ψ_{v} (X^{'}) ψ_{m} (X)

$\psi_\mu(x)\psi_\nu(x')=-\psi_\nu(x')\psi_\mu(x)$ para cualquier

x, x^{'}, μ

$x,x',\mu$ y

ν

$\nu$ , dónde

ψ_{μ} (x) ψ_{ν} (x^{'}) = 0

$\psi_\mu(x)\psi_\nu(x')=0$ solo para

x = x^{'}

$x=x'$ y

μ = ν

$\mu=\nu$ . Claramente, no puede lograr esto usando un número finito de generadores Grassmann.

Genere un álgebra de Grassmann con un generador para cada punto $x$ y componente $\mu$

Ω (METRO) = ⟨ ζ_{m} (X) | X \in METRO, m = 1, \dots norte ⟩,

$\Omega(\mathcal M) = \langle\zeta_\mu(x)|x\in\mathcal M,\mu=1,\dots n\rangle,$ donde la notación

⟨ a, b, c, \dots ⟩

$\langle a,b,c,\dots\rangle$ representa un álgebra de Grassmann generada por elementos

a, b, c, \dots

$a,b,c,\dots$ y

M

$\mathcal M$ es la variedad en la que vive su espinor. Un elemento general de este espacio es, pues,

z \in Ω (M)

$z\in\Omega(\mathcal M)$ :

z = z_{0} + \int_{METRO} d X z_{m} (X) ζ_{m} (X) + \frac{1}{2!} \int_{METRO} d X d y z_{m, v} (X, y) ζ_{m} (X) ζ_{v} (y) + \dots .

$z= z_0 + \int_{\mathcal M}\text dx\; z_\mu(x)\zeta_\mu(x) + \frac 1{2!}\int_{\mathcal M}\text dx\text dy\; z_{\mu,\nu}(x,y)\zeta_\mu(x)\zeta_\nu(y) +\dots.$

el espinor $\psi_\mu(x)$ entonces vive en el subespacio $\Omega_1(\mathcal M)\subset\Omega(\mathcal M)$ con un solo generador. En otras palabras

ψ_{m} (X) = z_{m} (X) ζ_{m} (X)

$\psi_\mu(x) = z_\mu(x)\zeta_\mu(x)$ para algún número complejo

z_{μ} (x) \in C

$z_\mu(x)\in\mathbb C$ . Esto asegurará la propiedad que queremos. Para campo conjugado

{\bar{ψ}}_{μ} (x)

$\bar{\psi}_{\mu}(x)$ , necesitas ampliar el álgebra con un nuevo conjunto de generadores

{\bar{ζ}}_{μ} (x)

$\bar \zeta_\mu(x)$ y extender de manera similar el álgebra para cada nuevo conjunto de fermiones en la teoría.

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