Signos negativos relativos de diferentes diagramas de Feynman

Tengo un problema para entender la ocurrencia de los signos menos relativos entre contribuciones, provenientes de diferentes diagramas de Feynman, que involucran fermiones. Un ejemplo simple es la dispersión de Bhabha mi + mi − → mi + mi − . Este proceso puede ocurrir por dispersión o aniquilación. Conozco el argumento heurístico como se menciona, por ejemplo, aquí y en muchos libros. Estoy tratando de entender esto mediante el cálculo utilizando la expansión S-Matrix.

Descargo de responsabilidad: usaré una notación bastante descuidada para llegar lo más rápido posible a mi pregunta.

Tenemos | i ⟩ = | mi + mi − ⟩ = C † d † | 0 ⟩ y ⟨ F | = ⟨ 0 | d C

La parte de contribución del término de matriz S de segundo orden es para el diagrama de dispersión (ignorando muchas cosas)

S a ∝ ( Ψ ¯ − Ψ + ) X 1 ( Ψ ¯ + Ψ − ) X 2

y para el diagrama de aniquilación

S a ∝ ( Ψ ¯ − Ψ − ) X 1 ( Ψ ¯ + Ψ + ) X 2

Por lo tanto, las amplitudes correspondientes son (nuevamente centrándose solo en las partes relevantes del signo)

⟨ F | S a | i ⟩ ∝ ⟨ 0 | C d norte { C † C d d † } C † d † | 0 ⟩
y
⟨ F | S b | i ⟩ ∝ ⟨ 0 | C d norte { C † d † d C } C † d † | 0 ⟩

He leído las páginas correspondientes en bastantes libros, y las formas estándar de explicar el signo menos son:

I Que necesitamos ahora poner ambos términos en el mismo orden normal (Mandl-Shaw)

o

II que tenemos que asegurarnos de que un C siempre está al lado de un C † e igualmente para d , es decir, asegúrese de que una partícula siempre se aniquile después de crearla antes de que se cree otra partícula. (Ver por ejemplo (Teoría cuántica de campos y el modelo estándar - Schwartz)

El uso de las relaciones de anticonmutación entre los operadores de creación y aniquilación conduce a ambas demandas a un signo menos relativo entre las dos contribuciones. Mi problema es entender de dónde viene la necesidad de I o II . En otras palabras: si sigo las instrucciones de los libros de texto obtengo el resultado correcto, que es lo mismo que si usara la regla heurística mencionada al principio. De todos modos no entiendo de dónde vienen estas reglas.

¿Por qué necesitamos traer los operadores en ambas amplitudes en el mismo orden normal? O

¿Por qué necesitamos aniquilar una partícula tan pronto como se creó antes de que se cree otra partícula?

Cualquier ayuda o sugerencia de lectura sería muy apreciada.

Debe llevar los estados al mismo orden porque las dos contribuciones a la amplitud deben estandarizarse de la misma manera, de lo contrario estaría sumando manzanas con naranjas. Se puede calcular la amplitud para un estado inicial y un estado final fijos y bien definidos (incluido el signo). Si su otro cálculo calcula un término diferente pero el estado final y/o inicial difieren en un número impar de intercambios de fermiones, entonces los estados inicial y final deben cambiarse a la misma forma que el término anterior, lo que produce un signo menos.
¿Entiendes por qué, por antitrabajo C i variable, 12 C 1 C 2 + 5 C 2 C 1 = 12 C 1 C 2 − 5 C 1 C 2 = 7 C 1 C 2 ? Si lo hace, entonces no puedo entender cómo puede malinterpretar lo que está preguntando.
@LubošMotl esa debería ser una respuesta
@LubošMotl entiendo por qué 12 C 1 C 2 + 5 C 2 C 1 = 12 C 1 C 2 − 5 C 1 C 2 = 7 C 1 C 2 , de todos modos, en el caso anterior estamos sumando dos amplitudes, que son números c: ⟨ F | S a | i ⟩ y ⟨ F | S b | i ⟩ y no entiendo por qué no podemos, por ejemplo, agregar < 0 | C d C † d † C d C † d † | 0 > a < 0 | C d C † d † d C C † d † | 0 >
Gracias, @DavidZ: no estaba del todo satisfecho con mi comentario y quería al menos una pista más sobre cuál es el obstáculo... Tal vez lo vea ahora.

Respuestas (1)

Primero, la segunda ecuación que comienza con S a ∝ … probablemente debería decir S b ∝ … .

Ahora, las dos primeras ecuaciones para los operadores S a y S b cuales son las partes relevantes de S = S a + S b tienen el signo más positivo: los factores adicionales que se omiten no difieren en ningún signo adicional porque hay un factor bien definido (y un signo) delante del Ψ ¯ Ψ factor del término de interacción en el Lagrangiano. Omitiste el coeficiente k a y k b en las dos ecuaciones, respectivamente (algunos propagadores de fotones y otras cosas).

Sin el cambio de signo relativo (correcto), la amplitud total sería proporcional a k a + k b .

Para proceder (y fijar el signo), basta notar que en las dos últimas ecuaciones mostradas,

norte { C † C d d † } = C † d † C d norte { C † d † d C } = C † d † d C
donde tuve cuidado de realizar un número par de transposiciones de campos fermiónicos (la permutación de d † a través de C y d en la primera evaluación, o nada en la segunda evaluación) por lo que la manipulación es independiente de la cuestión de si ( − 1 ) incluye los cambios de signo para las transposiciones o no. Pero la última expresión de S b es porque d C = − C d , igual a menos el primero (el C d y d C al final es la única diferencia entre los dos), por lo que, después de la conversión de todo a los múltiplos de C † d † C d que todavía está intercalado entre los estados inicial y final (fijos), produce una amplitud proporcional a k a − k b , con el signo menos relativo.

Para responder "por qué yo o II", elegiría "por qué yo". La razón por la que necesitamos poner ambos términos en la misma forma normal ordenada es que queremos factorizar los coeficientes. Pero para A b = − A a con el signo menos proveniente del simple conteo de permutaciones de los operadores de aniquilación dentro S (u operadores de creación dentro S ), la ley de distribución sólo es posible si A a puede sacarse del paréntesis, es decir, factorizarse, es decir, si convertimos A b a − A a primero:

k a ⋅ A a + k b ⋅ A b = k a ⋅ A a − k b ⋅ A a = ( k a − k b ) ⋅ A a

¡Gracias por tu respuesta! Después de pensarlo un rato, creo que ahora puedo articular lo que todavía me molesta: supongo que tu A a =< F | C † d † C d | i > y A b =< F | C † d † d C | i > ?! A mi entender, ambos resultan en la norma del estado correspondiente. No entiendo por qué son diferentes. En otras palabras: ¿Cuál es la resonancia que ⟨ 0 | C d C † d † C d C † d † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | C d C † d † d C C † d † | 0 ⟩ ?
No entiendo cómo puedes malinterpretar estas cosas. Se diferencian porque uno de ellos tiene C d en algún lugar dentro y el otro tiene d C . Porque C d = − d C , estos dos elementos de la matriz son obviamente iguales menos uno del otro, ¿no es así? Es posible que solo no vea por qué son negativos si es completamente descuidado con todos los signos y todos los pedidos, pero de hecho, ese es un mal punto de partida para asegurarse de problemas similares de signos menos.
Entiendes eso ( C d ) † = d † C † pero ( C d ) † ≠ C † d † , ¿Por ejemplo? No es difícil ver que uno de los dos elementos finales de la matriz es igual + 1 y el otro es − 1 , y un minuto de cálculo usando ( A B ) † = B † A † y la anticonmutación, etc. es suficiente para ver cuál es cuál.
Oh... ¡Sry! Después de echar un segundo vistazo a lo que escribí, es completamente obvio y tampoco puedo entender cómo lo malinterpreté. Por supuesto ⟨ 0 | C d C † d † C d C † d † | 0 ⟩ ≠ ⟨ 0 | C d C † d † d C C † d † | 0 ⟩ ¡obviamente! ¡Gracias por tu paciencia y tu ayuda!
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